Spojitosť funkcie

Príklad 1 

Dodefinujte funkciu f v bode c tak, aby bola v tomto bode spojitá.
$$f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}, c=1.$$

Riešenie
Platí, že funkcia $f(x)$ je spojitá v bode $x_{0}$ vtedy a len vtedy ak platí:

1. funkcia je definovaná v bode $x_{0}$, t.j. $x_{0}\in D(f)$,
2. funkcia $f(x)$ má v bode $x_{0}$ limitu ($\lim_{x \to x_{0^{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0^{+}}} f(x)$),
3. $\lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$.

Definičný obor tejto funkcie je zadefinovaný na všetkých reálnych číslach okrem 1, t.j. $D(f)=R-\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)$.

V ďalšom kroku zistíme či má funkcia v bode $c$ limitu:

$$\lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}$$

$(x^{3}-1)$ vieme rozpísať pomocou vzorca
$(a^{3}-b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1} x^{2}+x+1=1+1+1=3$$

Funkciu môžeme dodefinovať takto:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{3}-1}{x-1} & \textrm{, pre } x\neq 1,\\ 3 & \textrm{, pre } x=1. \end{array}\right.$$

Príklad 2
Zistite, či je funkcia $f$ bode $x_{0}=4$ spojitá
  $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4} & \textrm{, pre } x\neq 4,\\ 0 & \textrm{, pre } x=4. \end{array}\right.$$

 Riešenie: Vypočítame limitu funkcie v bode $x_{0}=4$.
  $$\lim_{x \to 4}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}$$
Túto limitu nevieme vypočítať, preto vyrátame limitu sprava a limitu zľava.
$$\lim_{x \to 4^{+}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=\infty$$
$$\lim_{x \to 4^{-}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=-\infty$$

Jednostranné limity sa nerovnajú a sú nevlastné. Bod $x_{0}=4$, je bod nespojitosti funkcie druhého druhu, t.j. funkcia nie je v bode $x_{0}=4$ spojitá. Takýto bod nevieme dodefinovať na spojitý.

Neurčitý integrál - Príklad 11

Neurčitý integrál

Príklad 11

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\ln x\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie:

Daný integrál výpočítame pomocou metódy per partes. Keďže $\ln x=1\cdot \ln x$, v tomto prípade číslo $1$ považujeme za polynóm nultého stupňa.

$$\int{\ln x}\ \mathrm{d}x=\int{1\cdot\ln x}\ \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{cc} v^{\prime}(x)=1 & u(x)=\ln x \\ v(x)=x & u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right|=$$
$$x\ln x -\int{x\cdot \frac{1}{x}}\ \mathrm{d}x=x\ln x-x + C.$$

Neurčitý integrál - Príklad 10

Neurčitý integrál

Metóda PER PARTES

Metóda per partes sa využíva pri integrovaní súčinu funkcií. Vzorec (1), ktorý sa pri tejto metóde využíva, je odvodený z pravidla o derivovaní súčinu dvoch funkcií.
$$\int{u(x)\cdot v'(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x)-\int{u'(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x} \hspace{4.5cm} (1)$$

Príklad 10

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie 

$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$
Zvoľme:
$$u(x)=x^2\qquad  v'(x)=\cos x$$
$$u'(x)=2x \qquad v(x)=\sin x$$
Využijeme vzťah (1)
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ použujeme metódu per partes.

Zvoľme:
$$u(x)=2x\qquad  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\qquad  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}=$$
$$2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C$$
Záver:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=$$
$$x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 9

Neurčitý integrál 

Príklad 9

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}$ nie je rýdzoracionálna.

Najprv vydelíme polynóm z čitateľa funkcie polynómom z jej menovateľa. Zvyšok po tomto podiele je už rýdzoracionálnou funkciou.
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=(2x^3+5x^2+8):(2x^2+7x-15)=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{\left(x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\right)\ \mathrm{d}x}=$$
$$\int{x\ \mathrm{d}x}-\int{1\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$
Funkcia $\displaystyle \frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$ je rýdzoracionálna, teda na výpočet integrálu možeme použiť metódu: rozklad na parciálne zlomky.
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{22x-7}{(2x-3)(x+5)}=\frac{A}{2x-3}+\frac{B}{x+5}$$
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{A(x+5)+B(2x-3)}{(2x-3)(x+5)}$$

$$22x-7=A(x+5)+B(2x-3)=(A+2B)x+(5A-3B)$$
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad  x^1; \quad 22&=&A+2B\\ x^0;\quad -7&=&5A-3B\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy je: $A=4$ a $B=9$.
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{4}{2x-3}}+\int{\frac{9}{x+5}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\frac{x^2}{2}-x+2\ln{\left|2x-3\right|}+9\ln{\left|x+5\right|}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 8

Neurčitý integrál

Príklad 8

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}=\frac{x^2+7x+8}{x(x+2)^2}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}$$
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2}=\frac{A(x+2)^2+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^2}=$$
$$\frac{Ax^2+4Ax+4A+Bx^2+2Bx+Cx}{x(x+2)^2}$$
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách $x$ dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray*} A+B&=&1\\ 4A+2B+C&=&7\\ 4A&=&8\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=2$, $B=-1$,  $C=1$.
$$\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{A}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{B}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{C}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\int{\frac{2}{x}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{1}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}= 2\ln\left|x\right|-\ln\left|x+2\right|-\frac{1}{x-2}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 7

Neurčitý integrál

 

Príklad 7

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$ je rýdzoracionálna, keďže v čitateli je polynóm nultého stupňa a v menovateli polynóm tretieho stupòa.

Polynóm $x^2+4$ je ireducibilný nad $\mathbb{R}$ (nerozložiteľný na súčin polynómov prvého stupňa s reálnymi koeficientami). Preto v menovateli druhého zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa.

Teda hľadáme nasledujúci rozklad na parciálne zlomky:
$$\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$$
$$\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}=$$
$$\frac{Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+4)}$$
Aby sa zlomky rovnali musí platiť:
$$\begin{eqnarray*} 1&=&Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C\\ 1&=&(A+B)x^2+(C-B)x+(4A-C)\\ \end{eqnarray*}$$
Riešime sústavy lineárnych rovníc (troch rovníc o troch neznámych).
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri}\qquad x^2; \quad A+B&=&0\\ \qquad x^1; \quad C-B&=&0\\ \qquad x^0; \quad 4A-C&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
$$A=\frac{1}{5}\ \ \ B=-\frac{1}{5}\ \ C=-\frac{1}{5}$$
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\frac{1}{5}}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x+1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{10}\ln\left|x^2+4\right|-\frac{1}{10}\arctan\frac{x}{2}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 6

Neurčitý integrál 

 Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$\frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú nasledne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.

 

Príklad 6

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}$$
Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm.
Hovoríme, že funkcia je rýdzoracionálna, ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli. Keďže v čitateli daného zlomku je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Túto funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov.
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}= \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}$$
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{A(x+1)\cdot B(x-2)}{(x-2)(x+1)}= \frac{(A+B) x +A-2B}{x^2-x-2}$$
Tieto zlomky sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú polynómy v čitateli:
$${2x+5} = (A+B)x+A-2B$$
Dva polynómy sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej $x$.
Teda:
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad x^1; \quad 2&=&A+B\\ x^0; \quad 5&=&A-2B\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=3$ a $B=-1$
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}= \int{\frac{3}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=$$
$$3\cdot \int{\frac{1}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=3\cdot\ln\left|x-2\right|-\ln\left|x+1\right|+C=$$
$$\ln\frac{(\left|x-2\right|)^3}{\left|x+1\right|}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 5

Neurčitý integrál

Príklad 5

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}$$

Riešenie

$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}=***$$
Substitúcia:
$$\begin{eqnarray*} \ln x&=&u\\ \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\ \end{eqnarray*}$$
$$***=\int{\frac{1}{\ln x}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} = \int{\frac{1}{u}\ \mathrm{d}u} =\ln \left|u\right| +C=\ln \left|\ln x\right| +C$$

Neurčitý integrál - Príklad 4

Neurčitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}=**$$
Substitúcia:
$$\begin{eqnarray*} x^2+6x+1&=&t\\ (2x+6)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ 2(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ (x+3)\, \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{2}\\ \end{eqnarray*}$$
$$**=\int{\sqrt{x^2+6x+1}\underbrace{(x+3)\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}t}{2}}} =\frac{1}{2}\int{\sqrt{t}\ \mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\int{t^\frac{1}{2}\ \mathrm{d}t}=$$
$$\frac{1}{2}\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+1)^\frac{3}{2}+C$$

Definičný obor funkcie - Príklad 6

Definičný obor funkcie

Príklad 6

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f(x)= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}$$

Riešenie:

Daná funkcia je súčtom dvoch funkcií. Definičný obor funkcie $f$ je prienikom definičných oborov funkcie $g(x)= \sqrt{4-x^2}$ a funkcie $h(x)= \frac{1}{x-1}$.

1. Nájdeme definičný obor funkcie $$g(x)= \sqrt{4-x^2}$$
Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule:
$$4-x^2 \geq 0$$
Ponúkame grafické riešenie nerovnice.
Výraz na ľavej strane napíšeme v tvare súčinu. 
$$(2-x)(2+x) \geq0$$
Funkcia $f(x)=4-x^2$ má konkávny priebeh a body $[-2;0]$, $[2;0]$ sú priesečníky funkcie s osou $x$.
 .

$$D(g)= \left\langle-2;2\right\rangle$$
2. Nájdeme definičný obor funkcie $$h(x)= \frac{1}{x-1}$$
Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule:
$$x-1\neq 0$$
$$x\neq 1$$
$$D(h)= (-\infty; 1)\cup(1;\infty)$$
Definičným oborom funkcie $f$ je interval: $\left\langle -2;1) \cup (1; 2\right\rangle$.

Overovanie riešení diferenciálnych rovníc - Príklad 1

Overovanie riešení diferenciálnych rovníc

Príklad 1

Overte, či $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$$

Riešenie

Chceme ukázať, že $y= 2x\cdot e^{-4x}$ je riešením diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.$$
V rovnici vystupuje $y$ (predpis tejto funkcie je daný), $y^{\prime}$ a $y^{\prime \prime}$, teda
$$y^{\prime}= 2\cdot e^{-4x}+2x\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)$$
$$y^{\prime\prime}= 2\cdot e^{-4x}(-4)(1-4x)+2\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right)$$
Následne dosadíme tieto derivácie do rovnice $y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$, dostávame
$$2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)+8(-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right))+16(2x\cdot e^{-4x})=0.$$
Keďže výraz na ľavej strane rovnice je rovný nule a aj pôvodná práva strana rovnice je rovná nule je  $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ riešením diferenciálnej rovnice
$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$.

Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 4

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$\begin{array}{rrr}  2x_1-x_2-x_3&=&4\\  3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\  3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\ \end{array}$$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 2& -1&-1&4\\ 3 & 4&-2&11\\ 3 & -2&4&11\\ \end{array} \right)$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $\left[x_1;x_2; x_3 \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$D= \left| \begin{array}{rrr} 2& -1&-1\\ 3 & 4&-2\\ 3 & -2&4\\ \end{array}\right| =60$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x_1$, $x_2$ a $x_3$ vypočítame využitím vzťahov:
$$x=\frac{D_{x_1}}{D},$$
$$y=\frac{D_{x_2}}{D},$$
$$z=\frac{D_{x_3}}{D},$$
kde determinant $D_{x_1}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_1$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{x_2}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_2$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{x_3}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_3$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$D_{x_1}= \left| \begin{array}{rrr} 4& -1&-1\\ 11 & 4&-2\\ 11 & -2&4\\  \end{array}\right| =180$$
$$D_{x_2}= \left| \begin{array}{rrr} 2& 4&-1\\ 3 & 11&-2\\ 3 & 11&4\\ \end{array}\right| =60$$
$$D_{x_3}= \left| \begin{array}{rrr} 2& -1&4\\ 3 & 4&11\\ 3 & -2&11\\ \end{array}\right| =60$$
Samotné riešenie sústavy:
$$x=\frac{D_{x_1}}{D}= \frac{180}{60}=3$$
$$y=\frac{D_{x_2}}{D}= \frac{60}{60}=1$$
$$z=\frac{D_{x_3}}{D}= \frac{60}{60}=1$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $\left[3;1;1 \right]$.

Derivácia funkcie - Príklad 10

Derivácia funkcie

Príklad 10

Vypočítajte deriváciu funkcie $g$ a výsledok upravte.
$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$

Riešenie

$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$
Derivácia súčtu funkcií je súčet derivovaných funkcií.
$$g^{\prime}(x)=\left (\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}+(e^x(\sin x+\cos x))^{\prime}$$
$$= \frac{(\ln x)^{\prime} x - \ln x (x) ^{\prime}}{x^2}+{e^x}^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}$$
$$= \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}+e^x (\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)$$  
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x (\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)$$
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x \cdot 2\cos x$$  

Derivácia funkcie - Príklad 6

Derivácia funkcie - Príklad 6

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=\ln \sin x$$

Riešenie:

$y'=(\ln \sin x)'=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle\sin x}\cos x= \frac{\displaystyle\cos x}{\displaystyle\sin x}=\cot x$

Derivácia funkcie - Príklad 8

Derivácia funkcie - Príklad8

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=5x^4-6\sqrt[4]{x^5}+\frac{3}{\sqrt{x}}-8$$

Riešenie:

Pred derivovaním najprv upravíme všetky mocniny na zlomky, následne použijeme vety o deriváciách.

$y'=\left(5x^4-6\sqrt[4]{x^5}+\frac{3}{\sqrt{x}}-8\right)'=\left(5x^4-6x^{\frac{5}{4}}+3x^{\frac{-1}{2}}-8\right)'=$
$=20x^3-\frac{30}{4}x^{\frac{1}{4}}-\frac{3}{2}x^{\frac{-3}{2}}= 20x^3-\frac{15}{2}\sqrt[4]{x}-\frac{3}{2\sqrt{x^3}}$

Derivácia funkcie - Príklad 9

Derivácia funkcie - Príklad 9

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=(x^5-6x)^{9}$$

Riešenie:

$y'=\left((x^5-6x)^{9}\right)'=9(x^5 - 6x)^8 (5x^4 - 6)$

Limita postupnosti - Príklad 2

Limita postupnosti 

Príklad 2

Vypočítajte limitu postupnosti
$$\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n$$

Riešenie:

Limitu postupnosti  $$\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n$$ upravíme tak, aby sme mohli využiť vzťah:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e$$
$$\frac{n-1}{n+1}= \frac{n-1-1+1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{2}{n+1}=1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n =\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}\right)}}^n$$
Zavedieme substitúciu:
$$\frac{n+1}{-2}=t$$
$$n+1=-2t$$
$$n=-2t-1$$
vrátime sa príkadu:
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t-1}= \lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=$$
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-2}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=e^{-2}$$

Derivácia funkcie - Príklad 3

Derivácia funkcie

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y= \tan x-x$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(\tan x-x\right)^{\prime}=\left(\tan x\right)^{\prime}-x^{\prime}=$$
Pri úprave výrazu využívame nasledujúce goniometrické vzťahy:
$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tan^2 x$$

 Priebeh funkcie 

Šablóna 

Príklad: Vyšetrite priebeh funkcie $f(x)=$

Riešenie:
1. Určiť definičný obor funkcie:

2. Vyšetriť párnosť a nepárnosť funkcie

• Definičný obor je symetrický a platí: $f(-x)=f(x)$, tak je funkcia $f$ je párna.
• Definičný obor je symetrický a platí: $f(-x)=-f(x)$, tak funkcia  $f$ je nepárna.

Určiť
$f(-x)=$
$-f(x)=$

3. Určiť priesečníky so súradnicovými osami
Priesečník s osou $o_{y}$ je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme $x=0$ a vypočítame $y$. Priesečník s osou $o_{x}$  je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme $y=0$ a vypočítame $x$.

Priesečník s osou $o_{y}$ má súradnice $[0, ]$.
Priesečník s osou $o_{x}$ má súradnice $[ ,0]$.

4. Vypočítať limity funkcie v koncových bodoch definičného oboru a v bodoch nespojitosti

$$\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\\ \end{array}$$
V bodoch nespojitosti vypočítame jednostranné limity:
$$\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow c^{-}}f(x)&=&\\  \end{array}$$
Ak sú jednostranné limity nevlastné čísla, tak priamka $x=c$ je asymptota bez smernice.

5. Vyjadrenie asymptot so smernicou
Asymptoty so smernicou sú priamky v tvare $y=k_1x+q_1$ a $y=k_2x+q_2$, ktorej koeficienty vypočítame podľa nasledujúcich vzťahov:
$$\begin{array}{rcl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ k_2&=& \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ \end{array}$$
koeficienty $k_1$, $q_1$ a $k_2$, $q_2$ musia by vlastné čísla.

6. Prvá derivácia funkcie
$f^{\prime}(x)=$

7. Určiť stacionárne body a vyšetriť monotónnosť funkcie
Stacionárne body sú čísla z definičného oboru funkcie $f(x)$, v ktorých je $\displaystyle f^{\prime}(x)= 0$.

Tieto stacionárne body rozdelia definičný obor funkcie $f$ na intervaly. V daných intervaloch určíme znamienko prvej derivácie.
Ak  $\displaystyle f^{\prime}(x)> 0$, tak funkcia $f$ je na intervale rastúca.
Ak  $\displaystyle f^{\prime}(x)< 0$, tak funkcia $f$ je na intervale klesajúca.

8. Druhá derivácia funkcie
$f^{\prime\prime}(x)=$

9. Určiť inflexné body a vyšetriť konkávnosť a konvexnosť funkcie
Inflexné body sú čísla z definičného oboru funkcie $f(x)$, v ktorých je $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)= 0$ a mení sa v nich priebeh funkcie z konvexnej na konkávnu alebo naopak .
Ak  $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)> 0$, tak funkcia $f$ je na intervale konvexná.
Ak  $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)< 0$, tak funkcia $f$ je na intervale konkávna.

10. Monotónnosť, lokálne extrémy, konvexnosť a konkávnosť, stacionárne body, inflexné body a body v ktorých neexistuje prvá a druhá derivácia funkcie rozdelia celý definičný obor na intervaly v ktorých určujeme znamienko prvej a druhej derivácie, zapíšeme ich do tabuľky.

11. Graf funkcie

Definičný obor funkcie - Príklad 5

Definičný obor funkcie

Príklad 5

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f: y=\arcsin (3x-7)$$

Riešenie:

Argument funkcie $\arcsin$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.
$$-1\leq 3x-7 \leq 1$$
Tento zápis znamená, že riešime dve nerovnice $-1\leq 3x-7$ a zároveň $3x-7\leq 1$.
Tieto nerovnice budeme riešiť súčasne:
$$6\leq 3x\leq 8$$
$$2\leq x\leq \frac{8}{3}$$
Prienikom podmienok $2\leq x$  a $x\leq \frac{8}{3}$ je interval: $\left\langle2, \frac{8}{3}\right\rangle$, ktorý je definičným oborom funkcie $f$.

Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 2

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 2

Nájdite rovnicu dotyčnice a normály v bode $T=[?;1]$ ku krivke.
$$y(x)= \ln x.$$

Riešenie:

Najprv dopočítame súradnice dotykového bodu. Keďže $T\in f$ musí spĺňať rovnicu tejto krivky.
$$\begin{array}{rrl} 1&=& \ln x\\ \ln e&=& \ln x\\ e&=& x\\ \end{array}$$
Súradnice dotykového bodu sú $T=[e;1]$.

Rovnica dotyčnice $$y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0),$$ kde $f^{\prime} (x_0)$ (ozn. tiež ako $k$) je smernica dotyčnice ku krivke $f$.

Smernica priamky (dotyčnice) je $\tan\alpha$, kde $\alpha$ je uhol, ktorý zviera priamka (dotyčnica) s priamkou $y=0$ resp. osou $x$ .
Túto smernicu vypočítame pomocou prvej derivácie funkcie a súradníc dotykového bodu:
$$\begin{array}{rrr} f^{\prime}(x)&=& \frac{1}{x}\\ f^{\prime}(e)&=& \frac{1}{e}\\ \end{array}$$

Do rovnice $y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0)$ dosadíme súradnice dotykového bodu a smernicu. Dostávame
$$\begin{array}{rll} y-1&=& \frac{1}{e}(x-e)\\ y-1&=& \frac{x}{e}- \frac{e}{e}\\ y-1&=& \frac{x}{e}- 1\\ y&=& \frac{x}{e}\\ \end{array}$$
Rovnica dotyčnice (v smernicovom tvare) je
$$y= \frac{x}{e}.$$

Normála je priamka, ktorá je kolmá na dotyčnicu v bode dotyku $T$.

Pre smernice dvoch kolmých priamok platí nasledujúci vzťah
$$k_n \cdot k_t =-1,$$
kde $k_n$ je smernica normály a $k_t$ je smernica dotyčnice.

Teda
$$\begin{array}{rlr} k_n &=&-\frac{1}{k_t}\\ k_n &=&-\frac{1}{\frac{1}{e}}\\ k_n &=&-e\\ \end{array}$$
Rovnica normály je  $$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime} (x_0)}(x-x_0)$$
$$\begin{array}{rrl} y-1&=&-e(x-e)\\ y-1&=&-ex+e^2\\ y&=&-ex+e^2+1\\ \end{array}$$
Rovnica normály je
$$y= e \cdot x+1+e^2.$$

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 3

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$$

Riešenie: 

Definičný obor funkcie určíme z podmienok:
$$\begin{array}{rlrlrlr} 3-x&\geq& 0& \wedge& 3+x&\geq&0\\ -x&\geq& -3& & x&\geq&-3\\ x&\leq & 3& & x&\geq&-3\\ \end{array}$$
$D(f)=\left\langle -3; 3 \right\rangle$. Definičný obor funkcie $f$ je symetrický.

Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=\sqrt{3-(-x)}+\sqrt{3+(-x)}=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 3

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=3(x-2)^2.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =3(x-2)^2$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=3((-x)-2)^2=3(x+2)^2$$
Funkcia $f$ nie je ani párna ani nepárna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 2

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=3x^2+2.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =3x^2+3$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=3(-x)^2+3=3x^2+3=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 1

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=x^2+3.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =x^2+3$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Definičný obor funkcie

Príklad 8

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{10}} (3+2x)}.$$

Riešenie: 

Podmienky:
$\begin{array}{rcccccr} \log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\ \log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq &\log_{\frac{1}{10}} 1&&2x&>&-3\\ 3+2x&\leq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\ x&\leq&-1&&&&\\ \end{array}$

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie $f$,
$D(f)=\left(-\frac{3}{2}, -1\right\rangle$.

Definičný obor funkcie

Príklad 7

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f(x)=\sqrt{\log (3+2x)}.$$

Riešenie: 

Podmienky:
$\begin{array}{rcccccr} \log (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\ \log (3+2x)&\geq &\log 1&&2x&>&-3\\ 3+2x&\geq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\ x&\geq&-1&&&&\\ \end{array}$

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie $f$,
$D(f)=\left\langle -1, \infty\right)$.

Zložená funkcia - Príklad 2

Zložená funkcia 

Príklad 2

Zostrojte zložené funkcie:
$(f\circ g)$, $(g\circ f)$, $(f\circ f)$, $(g\circ g)$, ak $f(x)= \sqrt{x}$ a $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$. Ak je to možné, výsledný vzťah zjednodušte.

 

Riešenie:

Definičným oborom danej funkcie $f(x)= \sqrt{x}$ je  $D(f)= \langle0,\infty)$ a funkcie $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$ je $D(g)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$

1. $(f\circ g)(x)=f(g(x))= \sqrt{\frac{1}{x+2}}$

Pričom definičný obor kompozície nájdeme z nasledujúcich podmienok:
$$x\in D(f\circ g) \Leftrightarrow x\in D(g) \wedge g(x)\in D(f)$$

Definičný obor kompozície $D(f\circ g)$ určíme z nasledujúcich podmienok:

• $x\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in  D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\geq 0$. Podiel je kladný, ak menovateľ  $x+2 > 0$.

$D(f\circ g)= (-2, \infty)$.

2. $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))= \frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Pričom definičný obor funkcie $D(g\circ f)$ nájdeme z podmienok:

• $x\in D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $x\geq 0$ a zároveň
• $f(x)\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $\sqrt{x}+2\neq 0$.

Keďže druhá z podmienok je vždy splnená $D(g\circ f)=\langle0, \infty)$.

3. $(f\circ f)(x)=f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}= \sqrt[4]{x}$

Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch určíme definičný obor kompozície:

• $x\in D(f)$, teda $x\geq 0$ a zároveň
• $f(x)\in D(f)$, teda $\sqrt{x}\geq 0$.

$D(f\circ f) =\langle 0, \infty)$

4. $\displaystyle (g\circ g)(x)=g(g(x))= \frac{1}{\frac{1}{x+2}+2}$

$D(g\circ g)(x)$ určíme z podmienok:

• $x\in D(g)$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in D(g)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\neq-2$.

$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{x+2}+2&\neq& 0\\ \frac{2x+5}{x+2}&\neq& 0\\ x&\neq& -\frac{5}{2}\\ \end{array}$$
$\displaystyle D(g\circ g)(x)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2, - \frac{5}{2}\}$.

Postupnosti - Príklad 1

Postupnosti 

Príklad 1

Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom:
$$a_n=3+\frac{1}{n}$$ .

Riešenie 

Prvých p䝻 členov postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom $a_n=3+\frac{1}{n}$ nájdeme tak, že za $n$ do vzorca $a_n$ dosadíme $1, 2, ...$.
$$a_1 = 3+\frac{1}{1}= 4$$
$$a_2 = 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$
$$a_3 = 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$$
$$a_4 = 3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$$
$$a_5 = 3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$$



Riešenie: Prepíšeme členy postupnosti nasledovne:

$$\frac{2^1}{3^0}, \frac{2^2}{3^1}, \frac{2^3}{3^2}, \frac{2^4}{3^3}, \frac{2^5}{3^4}, \dots$$

$n$- tý člen tejto postupnosti je $$\frac{2^{n}}{3^{n+1}}.$$

Determinanty - Príklad 5

Determinanty

Príklad 5

Riešte nasledujúcu nerovnicu:
$$\left| \begin{array}{lrr} x^2& 4& 9\\ x& 2& 3\\ 1 &1& 1\\ \end{array} \right|>0$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné vypočítať determinant:

$$\left| \begin{array}{lrr} x^2& 4& 9\\ x& 2& 3\\ 1 &1& 1\\ \end{array} \right|=2x^2+9x+12-(18+3x^2+4x)=-x^2+5x-6>0$$

Po výpočte determinantu sa úloha pretransformovala na úlohu:
Riešte kvadratickú nerovnicu:
$$-x^2+5x-6>0$$

Na riešenie tejto nerovnice je možné použiť viacero metód. Uvedieme dve základné:

• I. Metóda nulových bodov,
• II. grafické riešenie.

I. Metóda nulových bodov:
$$\begin{eqnarray*} -x^2+5x-6&>&0\\ x^2-5x+6&<&0 \end{eqnarray*}$$
Nulovým bodom výrazu budeme nazývať také číslo, v ktorom výraz $x^2-5x+6=0$ nadobúda hodnotu nula.
Výraz  $x^2-5x+6=0$ je možné napísať v tvare súčinu, podľa nasledujúceho vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$ kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice  $ax^2+bx+c=0$.
Korene kvadratickej rovnice môžeme vypočítať napr. podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\stackrel{+}{-} \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
V našom prípade $x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$.

Vidíme, že jeden zo súčiniteľov môže zmeniť znamienko iba v čísle $3$ a druhý súčiniteľ iba v čísle $2$. Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri podintervaly $(-\infty, 2), (2, 3\rangle, \langle 3, \infty)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

V intervale $\left(-\infty; 2\right)$ je prvý aj druhý činiteľ záporný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.
V intervale $\left(2; 3\right)$ je prvý činiteľ kladný a druhý záporný. Výsledný súčin nadobúda na tomto intervale zápornú hodnotu.
V intervale $\left(3;\infty\right)$ je prvý aj druhý činiteľ kladný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.

Súčin bude záporný, ak $x$ bude patriť do intervalu: $\left(2;3\right)$.

Riešením tejto nerovnice je teda množina reálnych čísel $\left(2;3\right)$.

II. Grafické riešenie
Grafom funkcie $y=-x^2+5x-6$ je parabola. V prvom rade nás zaujímajú priesečníky s osou $x$. Všeobecne takýto priesečník má súradnice $P_x=[x;0]$. Priesečník zistíme tak, že do predpisu funkcie za $y$ dosadíme $0$ a $x$ ponecháme. Takouto úpravou získame kvadratickú rovnicu:
$$-x^2+5x-6 = 0$$
V našom prípade má kvadratická rovnica dva reálne korene: $2$ a $3$.
Parabola, ktorá je grafom tejto funkcie pretína os $x$ práve v týchto dvoch číslach. Keďže koeficient pri $x^2$ je $-1$ t.j záporné číslo, bude mať parabola konkávny tvar.

Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: $- x^2+5x-6 > 0$. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi $y$) majú byť menšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď $x\in(2;3)$.
Keďže  $y>0$, tak riešením je interval $\left(2;3\right)$.

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 5

Matice, základné operácie s maticami

 

Príklad 5

Vypočítajte súčet matíc $A$ a $B$, ak $$\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{array} \right), \mathbf{B}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Najprv skontrolujeme, či sú matice rovnakého typu a následne matice sčítame:
$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)$$

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 4

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 4

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$ a $B\cdot A$, ak existuje:
$$A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4 \\ -2 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 2 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Súčin $A\cdot B$ existuje, keďže matica A má rovnaký počet stĺpcov (t.j. 3) ako má matica B riadkov (taktiež 3) a výsledná matica bude mať rozmer $3\times 1$.

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$C=A\cdot B = \underbrace{\left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4\\ -2 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 2 \end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 3}\cdot \underbrace{\left( \begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 1}= \left( \begin{array}{r} c_{1,1}\\ c_{2,1}\\ c_{3,1} \end{array} \right)$$
Prvok $c_{1,1}$ vo výslednej matici vznikne skalárnym súčinom prvého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$. Teda $c_{1,1} = (1;3;4)\cdot(1;-1;0)$. Podobne $c_{2,1}= (-2;3;1)\cdot(1;-1;0)$, kde vektor $(-2;3;1)$ je druhý riadok matice $A$ a $c_{3,1}= (4;1;2)\cdot(1;-1;0)$.
$$\left( \begin{array}{r} c_{1,1}\\ c_{2,1}\\ c_{3,1} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 1\cdot 1 + 3\cdot (-1) + 4\cdot 0\\ -2\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 1\cdot 0\\ 4\cdot 1 + 1\cdot (-1) + 2\cdot 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 1-3-0\\ -2-3+0\\ 4 -1+ 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -2\\ -5\\ 3 \end{array} \right)$$

Súčin matíc $B\cdot A$ nie je definovaný, keďže počet stĺpcov matice $B$ (t.j. 1) je rozdielny od počtu riadkov matice $A$ (t.j. 3).

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 3

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 3

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$:
$$A= \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 5 &1 \end{array} \right), B= \left( \begin{array}{rr} 1 &-2\\ 2 & 3 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$\left( \begin{array}{rr} 3 & 2\\ 5 & 1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rr} 1 & -2\\ 2 & 3 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rr} c_{1,1} & c_{1,2}\\ c_{2,1} &c_{2,2} \end{array} \right)$$
Prvok $c_{1,1}$ vznikne ako výsledok skalárneho súčinu vektora $(3,2)\cdot(1,2)$, kde vektor $(3,2)$ je riadkový vektor matice $A$ a vektor $(1, 2)$ je stĺpcový vektor matice $B$.
Prvok $c_{1,2} =(3, 2)\cdot(-2, 3)$, $c_{2,1} =(5,1)\cdot(1,2)$, $c_{2,2} =(5,1)\cdot(-2,3)$.

$$\left(\begin{array}{rr} c_{1,1} & c_{1,2}\\ c_{2,1} &c_{2,2} \end{array} \right)=\left(\begin{array}{rr} 3\cdot 1 + 2\cdot 2 & 3\cdot(-2) + 2\cdot 3\\ 5\cdot 1 + 1\cdot 2 & 5\cdot(-2) + 1\cdot 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 7 & 0\\ 7 &-7 \end{array} \right)$$

V nasledujúcich riadkoch je zachytená vizualizácia riešenia. Táto vizualizácia je ovládané iba šípkami vľavo a vpravo. VŠö prehliadaŤ nepodporuje Canvas...

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov

 

Príklad 2

Zistite, či vektory $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $\mathbf{b}=(2;-1;1)$, $\mathbf{c}=(1;7;8)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé.

Riešenie:

Tak ako v predchádzajúcom príklade zisťujem pre aké konštanty $k_1, k_2, k_3$ je lineárna kombinácia vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ rovná nulovému vektoru.
$$k_1\cdot\mathbf{a} +k_2\cdot\mathbf{b} +k_3\cdot\mathbf{c} =\mathbf{0}$$
$$k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+ k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+ k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=  \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3\\ 2\cdot k_1 -1\cdot k_2+7\cdot k_3\\3\cdot k_1 +1\cdot k_2+8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$

Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray*}   k_1 +2k_2+k_3 & =& 0\\  2k_1 - k_2+7k_3 & =& 0\\  3k_1 +k_2+8k_3 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

Z prvej rovnice vyjadríme jednu neznámu (napr. $k_1$) a dosadíme do ďalších dvoch.
$$\begin{eqnarray*}  k_1 & = & -2\cdot k_2-k_3 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  2\cdot (-2\cdot k_2-k_3) - k_2+7\cdot k_3 & = & 0\\  3\cdot (-2\cdot k_2-k_3) + k_2+8\cdot k_3 & = & 0 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  -4k_2-2k_3 - k_2+7 k_3 & =& 0\\  -6 k_2-3k_3 + k_2+8k_3 & =& 0 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  -5k_2+5 k_3  =  0\\  -5k_2+5k_3  =  0 \end{eqnarray*}$$

Máme dve identické rovnice, teda je evidentné, že jednu z nich môžeme vynechať.

Teda máme jednu rovnicu o dvoch neznámych.
$$-5k_2+5 k_3 = 0$$
Takáto rovnica má nekonečne veľa riešení. Voľbou parametra: $\displaystyle k_3=t$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$. Z poslednej rovnice dopočítame $k_2$, $k_2=t$ a z prvej rovnice $\displaystyle 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3=0$ dostávame, že $\displaystyle k_1=-3t$.

Sústava troch rovníc o troch neznámych má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice $\displaystyle [-3t,t,t]$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$.

Keďže lineárna kombinácia vektorov $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ je rovná nulovému vektoru, aj keď existuje taká trojica $k_1, k_2$ a $k_3$ (napr.$\displaystyle k_1=-3, k_2=1,  k_3=1$), kde aspoň jedna konštanta je rôzna od nuly, sú vektory $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ lineárne závislé.

Neurčitý integrál - Príklad 1

Neurčitý integrál

Príklad 1.

Dokážte, že funkcia $F(x)= \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ je primitívnou funkciou k funkcii $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

Riešenie:

$$\begin{equation} F^{\prime}(x)=\left[\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)\right]^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left[x+\sqrt{1+x^2}\right]^{\prime}= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=f(x) \end{equation}$$

Určitý integrál - Príklad 2

Určitý integrál 

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle\int{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}$ použijeme substitučnú metódu.
Zderivujeme obe strany nasledujúcej rovnosti
$$\begin{eqnarray*} 2x&=&u \\  2\ \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\  \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{2} \end{eqnarray*}$$

Po dosadení dostávame:
$$\int{\sin{2x}\ dx}=\int{\sin(\underbrace{2x}_{u})\cdot \underbrace{\mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{2}}}=\frac{1}{2}\int{\sin u\ \mathrm{d}u}=\frac{1}{2}(-\cos u)=-\frac{1}{2}\cos{2x}$$
Následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu
$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ dx}=\left[-\frac{1}{2}\cos{2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(2\cdot 0\right)\right]=$$
$$-\frac{1}{2}\left[\cos \pi - \cos 0\right]=-\frac{1}{2}(-1-1)=1$$

Určitý integrál - Príklad 3

Určitý integrál 

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál
$$\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$$

Riešenie:

Najprv vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ a následne použijeme N-L formulu.

Na výpočet neurčitého integrálu $\displaystyle\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$ použijeme substitučnú metódu.
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}&=&u \\  -\frac{1}{x^2}\ dx&=&du\\ \frac{1}{x^2}\ dx&=&-du\\ \end{eqnarray*}$$

Súčin upravíme tak, aby sme mohli priamo zaviesť substitúciu:
$$\int{\underbrace{e^{\frac{1}{x}}}_{u}\cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}\ dx}_{du}}=-\int{e^{u}\ du}= -e^u=-e^\frac{1}{x}$$
$$\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}=\left[-e^\frac{1}{x}\right]_1^2=-e^\frac{1}{2}+e.$$

Určitý integrál - Príklad 4

Určitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}$$

Riešenie: 

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu Per - partes.
$$\int{\mathrm{arctg}\ x\ dx}$$
$$\begin{eqnarray*} \mathrm{arctg}\ x&=&u \qquad 1=v^\prime \\ \frac{1}{x^2+1}&=&u^\prime \qquad x=v\\ \end{eqnarray*}$$
$$=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ dx}=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=*$$
Integrál $\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}$ vypočítame substitučnou metódou:
$$\begin{eqnarray*} x^2+1&=&u \\ 2x\ dx&=&du\\ x\ dx&=&\frac{1}{2}du\\ \end{eqnarray*}$$
$$\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u}\ du}= \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c$$

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:
$$*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c$$
V závere použijeme N-L formulu:
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|\right]_0^1=$$
$$1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln\left|1^2+1\right|-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln\left|0^2+1\right|\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.$$

Určitý integrál - Príklad 1

Určitý integrál

Newton-Leibnizova formula
Nasledujúca, tzv. Newton-Leibnizova formula (ďalej iba N-L formula) charakterizuje vzťah medzi určitým a neurčitým integrálom a slúži pri výpočte určitého integrálu.
$$\int\limits_a^b{f(x)\ dx}= \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a),$$
kde $F(x)$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, t.j. platí $F^{\prime}(x)=f(x)$ pre všetky $x\in\left\langle a,b\right\rangle$.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál
$$\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie:

Vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $x^2$ a následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu na výpočet určitého integrálu.
$$\int{x^2 \ \mathrm{d}x}=\frac{x^3}{3}+C$$
Pri výpočte určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovej formuly nie je nutné do vzorca dosadzovať integračnú konštantu $C$. Keďže pri dosadení do N-L vzorca sa táto integračná konštanta odčíta.
$$\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}=\left[\frac{x^3}{3}+C\right]_{-1}^4=\frac{4^3}{3}+C-\left(\frac{(-1)^3}{3}+C\right)=\frac{4^3}{3}- \frac{(-1)^3}{3}=\frac{65}{3}.$$

Určitý integrál - Príklad 5

Určitý integrál

Geometrická aplikácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Plošný obsah $S$ množiny bodov v rovine, ktoré spájajú nerovnosti $$a\leq x\leq b\ \text{ a }\ g(x)\leq y \leq f(x)$$ (t.j. množina bodov  medzi funkciami $g(x)$ a $f(x)$) je daný vzťahom

  $$\displaystyle S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$

Príklad 5

Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:
$$y=6x-x^2,  y=0$$

Riešenie:

Časť roviny ohraničená krivkou $y=6x-x^2$ a krivkou $y=0$ je znázornená na nasledujúcom obrázku:

Priamka $y=0$ pretne parabolu $y=6x-x^2$ v dvoch bodoch: v bode $[0;0]$ a v bode $[6;0]$.

Použijeme vzťah na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami:
$$S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$
$$S=\int\limits_0^6{\left(6x-x^2-0\right)\ dx}= \left[\frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^6= \frac{216}{2}-\frac{216}{3}=\frac{216}{6}=36.$$

Derivácia funkcie

Úloha 34. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=-2\arctan{\sqrt{\frac{3-x}{x-1}}}.$$

Riešenie:
$$f^{\prime}(x)= -2\frac{1}{1+\left(\frac{3-x}{x-1}\right)}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{3-x}{x-1}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{1-x+x-3}{(x-1)^2}=$$
$$-\frac{2(x-1)}{x-1+3-x}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}= -\frac{2(x-1)}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=$$
$$\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{1}{x-1}= \sqrt{\frac{1}{(3-x)(x-1)}}.$$

Úloha 35. Vypočítajte deriváciu funkcie $$g(x)=\ln\left(e^x+\sqrt{e^{2x}-1}\right)+\arctan(e^{2x}-1).$$

Riešenie:
$$g^{\prime}(x)=\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$

$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(\frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}+e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x(\sqrt{e^{2x}-1}+e^x)}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}= \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}.$$