Overovanie riešení diferenciálnych rovníc - Príklad 1

Overovanie riešení diferenciálnych rovníc

Príklad 1

Overte, či $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$$

Riešenie

Chceme ukázať, že $y= 2x\cdot e^{-4x}$ je riešením diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.$$
V rovnici vystupuje $y$ (predpis tejto funkcie je daný), $y^{\prime}$ a $y^{\prime \prime}$, teda
$$y^{\prime}= 2\cdot e^{-4x}+2x\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)$$
$$y^{\prime\prime}= 2\cdot e^{-4x}(-4)(1-4x)+2\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right)$$
Následne dosadíme tieto derivácie do rovnice $y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$, dostávame
$$2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)+8(-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right))+16(2x\cdot e^{-4x})=0.$$
Keďže výraz na ľavej strane rovnice je rovný nule a aj pôvodná práva strana rovnice je rovná nule je  $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ riešením diferenciálnej rovnice
$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$.