Overovanie riešení diferenciálnych rovníc - Príklad 1

Overovanie riešení diferenciálnych rovníc

Príklad 1

Overte, či $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice
$$
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0
$$

Riešenie

Chceme ukázať, že $y= 2x\cdot e^{-4x}$ je riešením diferenciálnej rovnice
$$
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.
$$
V rovnici vystupuje $y$ (predpis tejto funkcie je daný), $ y^{\prime} $ a $ y^{\prime \prime} $, teda
$$
y^{\prime}= 2\cdot e^{-4x}+2x\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)
$$
$$
y^{\prime\prime}= 2\cdot e^{-4x}(-4)(1-4x)+2\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right)
$$
Následne dosadíme tieto derivácie do rovnice $y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$, dostávame
$$
2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)+8(-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right))+16(2x\cdot e^{-4x})=0.
$$
Keďže výraz na ľavej strane rovnice je rovný nule a aj pôvodná práva strana rovnice je rovná nule je  $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ riešením diferenciálnej rovnice
$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$.