Určitý integrál - Príklad 3

Určitý integrál 

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál
$$\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$$

Riešenie:

Najprv vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ a následne použijeme N-L formulu.

Na výpočet neurčitého integrálu $\displaystyle\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$ použijeme substitučnú metódu.
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}&=&u \\  -\frac{1}{x^2}\ dx&=&du\\ \frac{1}{x^2}\ dx&=&-du\\ \end{eqnarray*}$$

Súčin upravíme tak, aby sme mohli priamo zaviesť substitúciu:
$$\int{\underbrace{e^{\frac{1}{x}}}_{u}\cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}\ dx}_{du}}=-\int{e^{u}\ du}= -e^u=-e^\frac{1}{x}$$
$$\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}=\left[-e^\frac{1}{x}\right]_1^2=-e^\frac{1}{2}+e.$$