Určitý integrál - Príklad 3

Určitý integrál 

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}
$$

Riešenie:

Najprv vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ a následne použijeme N-L formulu.

Na výpočet neurčitého integrálu $\displaystyle\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$ použijeme substitučnú metódu.
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x}&=&u \\
 -\frac{1}{x^2}\ dx&=&du\\
\frac{1}{x^2}\ dx&=&-du\\
\end{eqnarray*}

Súčin upravíme tak, aby sme mohli priamo zaviesť substitúciu:
$$
\int{\underbrace{e^{\frac{1}{x}}}_{u}\cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}\ dx}_{du}}=-\int{e^{u}\ du}= -e^u=-e^\frac{1}{x}
$$
$$
\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}=\left[-e^\frac{1}{x}\right]_1^2=-e^\frac{1}{2}+e.
$$