Neurčitý integrál - Príklad 6

Neurčitý integrál 

 Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$ \frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú nasledne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.

 

Príklad 6

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}
$$
Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm.
Hovoríme, že funkcia je rýdzoracionálna, ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli. Keďže v čitateli daného zlomku je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Túto funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov.
$$
\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}= \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}
$$
$$
\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{A(x+1)\cdot B(x-2)}{(x-2)(x+1)}= \frac{(A+B) x +A-2B}{x^2-x-2}
$$
Tieto zlomky sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú polynómy v čitateli:
$$
{2x+5} = (A+B)x+A-2B
$$
Dva polynómy sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej $x$.
Teda:
$$
\begin{eqnarray*}
\textrm{koeficient pri} \qquad x^1; \quad 2&=&A+B\\
x^0; \quad 5&=&A-2B\\
\end{eqnarray*}
$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=3$ a $B=-1$
$$
\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}= \int{\frac{3}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=
$$
$$
3\cdot \int{\frac{1}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=3\cdot\ln\left|x-2\right|-\ln\left|x+1\right|+C=
$$
$$
\ln\frac{(\left|x-2\right|)^3}{\left|x+1\right|}+C
$$