Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 2

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 2

Nájdite rovnicu dotyčnice a normály v bode $T=[?;1]$ ku krivke.
$$y(x)= \ln x.$$

Riešenie:

Najprv dopočítame súradnice dotykového bodu. Keďže $T\in f$ musí spĺňať rovnicu tejto krivky.
$$\begin{array}{rrl} 1&=& \ln x\\ \ln e&=& \ln x\\ e&=& x\\ \end{array}$$
Súradnice dotykového bodu sú $T=[e;1]$.

Rovnica dotyčnice $$y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0),$$ kde $f^{\prime} (x_0)$ (ozn. tiež ako $k$) je smernica dotyčnice ku krivke $f$.

Smernica priamky (dotyčnice) je $\tan\alpha$, kde $\alpha$ je uhol, ktorý zviera priamka (dotyčnica) s priamkou $y=0$ resp. osou $x$ .
Túto smernicu vypočítame pomocou prvej derivácie funkcie a súradníc dotykového bodu:
$$\begin{array}{rrr} f^{\prime}(x)&=& \frac{1}{x}\\ f^{\prime}(e)&=& \frac{1}{e}\\ \end{array}$$

Do rovnice $y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0)$ dosadíme súradnice dotykového bodu a smernicu. Dostávame
$$\begin{array}{rll} y-1&=& \frac{1}{e}(x-e)\\ y-1&=& \frac{x}{e}- \frac{e}{e}\\ y-1&=& \frac{x}{e}- 1\\ y&=& \frac{x}{e}\\ \end{array}$$
Rovnica dotyčnice (v smernicovom tvare) je
$$y= \frac{x}{e}.$$

Normála je priamka, ktorá je kolmá na dotyčnicu v bode dotyku $T$.

Pre smernice dvoch kolmých priamok platí nasledujúci vzťah
$$k_n \cdot k_t =-1,$$
kde $k_n$ je smernica normály a $k_t$ je smernica dotyčnice.

Teda
$$\begin{array}{rlr} k_n &=&-\frac{1}{k_t}\\ k_n &=&-\frac{1}{\frac{1}{e}}\\ k_n &=&-e\\ \end{array}$$
Rovnica normály je  $$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime} (x_0)}(x-x_0)$$
$$\begin{array}{rrl} y-1&=&-e(x-e)\\ y-1&=&-ex+e^2\\ y&=&-ex+e^2+1\\ \end{array}$$
Rovnica normály je
$$y= e \cdot x+1+e^2.$$