Neurčitý integrál - Príklad 9

Neurčitý integrál 

Príklad 9

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}$ nie je rýdzoracionálna.

Najprv vydelíme polynóm z čitateľa funkcie polynómom z jej menovateľa. Zvyšok po tomto podiele je už rýdzoracionálnou funkciou.
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=(2x^3+5x^2+8):(2x^2+7x-15)=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{\left(x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\right)\ \mathrm{d}x}=$$
$$\int{x\ \mathrm{d}x}-\int{1\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$
Funkcia $\displaystyle \frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$ je rýdzoracionálna, teda na výpočet integrálu možeme použiť metódu: rozklad na parciálne zlomky.
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{22x-7}{(2x-3)(x+5)}=\frac{A}{2x-3}+\frac{B}{x+5}$$
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{A(x+5)+B(2x-3)}{(2x-3)(x+5)}$$

$$22x-7=A(x+5)+B(2x-3)=(A+2B)x+(5A-3B)$$
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad  x^1; \quad 22&=&A+2B\\ x^0;\quad -7&=&5A-3B\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy je: $A=4$ a $B=9$.
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{4}{2x-3}}+\int{\frac{9}{x+5}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\frac{x^2}{2}-x+2\ln{\left|2x-3\right|}+9\ln{\left|x+5\right|}+C$$