Určitý integrál - Príklad 4

Určitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}$$

Riešenie: 

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu Per - partes.
$$\int{\mathrm{arctg}\ x\ dx}$$
$$\begin{eqnarray*} \mathrm{arctg}\ x&=&u \qquad 1=v^\prime \\ \frac{1}{x^2+1}&=&u^\prime \qquad x=v\\ \end{eqnarray*}$$
$$=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ dx}=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=*$$
Integrál $\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}$ vypočítame substitučnou metódou:
$$\begin{eqnarray*} x^2+1&=&u \\ 2x\ dx&=&du\\ x\ dx&=&\frac{1}{2}du\\ \end{eqnarray*}$$
$$\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u}\ du}= \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c$$

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:
$$*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c$$
V závere použijeme N-L formulu:
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|\right]_0^1=$$
$$1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln\left|1^2+1\right|-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln\left|0^2+1\right|\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.$$