Určitý integrál - Príklad 4

Určitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}
$$

Riešenie: 

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu Per - partes.
$$
\int{\mathrm{arctg}\ x\ dx}
$$
$$
\begin{eqnarray*}
\mathrm{arctg}\ x&=&u \qquad 1=v^\prime \\
\frac{1}{x^2+1}&=&u^\prime \qquad x=v\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
 =x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ dx}=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=*
$$
Integrál $\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}$ vypočítame substitučnou metódou:
\begin{eqnarray*}
x^2+1&=&u \\
2x\ dx&=&du\\
x\ dx&=&\frac{1}{2}du\\
\end{eqnarray*}
$$
\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u}\ du}= \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c
$$

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:
$$
*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c
$$
V závere použijeme N-L formulu:
$$
\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|\right]_0^1=
$$
$$
1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln\left|1^2+1\right|-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln\left|0^2+1\right|\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.
$$