Neurčitý integrál - Príklad 8

Neurčitý integrál

Príklad 8

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}=\frac{x^2+7x+8}{x(x+2)^2}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}
$$
$$
\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2}=\frac{A(x+2)^2+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^2}=
$$
$$
\frac{Ax^2+4Ax+4A+Bx^2+2Bx+Cx}{x(x+2)^2}
$$
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách $x$ dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych:
$$
\begin{eqnarray*}
A+B&=&1\\
4A+2B+C&=&7\\
4A&=&8\\
\end{eqnarray*}
$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=2$, $B=-1$,  $C=1$.
$$
\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{A}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{B}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{C}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}=
$$
$$
\int{\frac{2}{x}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{1}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}= 2\ln\left|x\right|-\ln\left|x+2\right|-\frac{1}{x-2}+C
$$