Určitý integrál - Príklad 2

Určitý integrál 

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál

$$
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle\int{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}$ použijeme substitučnú metódu.
Zderivujeme obe strany nasledujúcej rovnosti
\begin{eqnarray*}
2x&=&u \\
 2\ \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\
 \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{2}
\end{eqnarray*}

Po dosadení dostávame:
$$
\int{\sin{2x}\ dx}=\int{\sin(\underbrace{2x}_{u})\cdot \underbrace{\mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{2}}}=\frac{1}{2}\int{\sin u\ \mathrm{d}u}=\frac{1}{2}(-\cos u)=-\frac{1}{2}\cos{2x}
$$
Následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu
$$
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ dx}=\left[-\frac{1}{2}\cos{2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(2\cdot 0\right)\right]=
$$
$$
-\frac{1}{2}\left[\cos \pi - \cos 0\right]=-\frac{1}{2}(-1-1)=1
$$