Neurčitý integrál - Príklad 10

Neurčitý integrál

Metóda PER PARTES

Metóda per partes sa využíva pri integrovaní súčinu funkcií. Vzorec (1), ktorý sa pri tejto metóde využíva, je odvodený z pravidla o derivovaní súčinu dvoch funkcií.
$$\int{u(x)\cdot v'(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x)-\int{u'(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x} \hspace{4.5cm} (1)$$

Príklad 10

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie 

$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$
Zvoľme:
$$u(x)=x^2\qquad  v'(x)=\cos x$$
$$u'(x)=2x \qquad v(x)=\sin x$$
Využijeme vzťah (1)
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ použujeme metódu per partes.

Zvoľme:
$$u(x)=2x\qquad  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\qquad  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}=$$
$$2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C$$
Záver:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=$$
$$x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$