Určitý integrál - Príklad 1

Určitý integrál

Newton-Leibnizova formula
Nasledujúca, tzv. Newton-Leibnizova formula (ďalej iba N-L formula) charakterizuje vzťah medzi určitým a neurčitým integrálom a slúži pri výpočte určitého integrálu.
$$
\int\limits_a^b{f(x)\ dx}= \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a),
$$
kde $F(x)$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, t.j. platí $F^{\prime}(x)=f(x)$ pre všetky $x\in\left\langle a,b\right\rangle$.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie:

Vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $x^2$ a následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu na výpočet určitého integrálu.
$$
\int{x^2 \ \mathrm{d}x}=\frac{x^3}{3}+C
$$
Pri výpočte určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovej formuly nie je nutné do vzorca dosadzovať integračnú konštantu $C$. Keďže pri dosadení do N-L vzorca sa táto integračná konštanta odčíta.
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}=\left[\frac{x^3}{3}+C\right]_{-1}^4=\frac{4^3}{3}+C-\left(\frac{(-1)^3}{3}+C\right)=\frac{4^3}{3}- \frac{(-1)^3}{3}=\frac{65}{3}.
$$