Geometrický význam derivácie funkcie
Príklad 3
Nájdite rovnicu dotyčnice ku krivke $ y= \ln x$, ktorá je kolmá na priamku $ x+2y-5=0$.
Riešenie:
Označme dotyčnicu ku krivke $y= \ln x$ písmenom $t$ a priamku $ x+2y-5=0$ písmenom $p$.Priamka $p$ je daná všeobecnou rovnicou. Upravíme danú rovnicu do smernicového tvaru, t.j. $y=kx+g$, kde číslo $k$ je smernicou priamky a $g$ je číslo. Dostávame
$$\begin{array}{rcl}
x+2y-5&=&0\\
2y&=&5-x\\
y&=&\frac{5-x}{2}\\
y&=&\frac{5}{2}-\frac{x}{2}\\
y&=&-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\
\end{array}$$
Keďže dotyčnica $t$ je kolmá na priamku $p$ o ich smerniciach platí
$$k_t\cdot k_p=-1.$$
Teda smernica dotyčnice je
$$\begin{array}{rcl}
k_t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\\
k_t=2\\
\end{array}$$
Priamka $t$ a krivka $f: y= \ln x$ majú jediný spoločný bod. Označme jeho súradnice takto $T=[x_0,y_0]$.
Vieme, že derivácia funkcie $f$
$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
$$
v bode $x_0$ sa rovná smernici dotyčnice ku krivke.
Teda $ \frac{1}{x_0}=k_t$, kde $ k_t=2$ teda $ \frac{1}{x_0}=2$ a $ x_0=\frac{1}{2}$.
Je potrebné ešte určiť druhú súradnicu dotykového bodu. Keďže $T\in f$ spĺňa rovnicu funkcie $f$:
$$\begin{array}{rcl}
y_0&=& \ln x_0\\
y_0&=& \ln \frac{1}{2}\\
\end{array}
$$
Dotykový bod má súradnice:
$$
T=\left[\frac{1}{2},\ln \frac{1}{2}\right]
$$
Vo všeobecnosti má rovnica dotyčnice tvar $y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
$$\begin{array}{rcl}
y-\ln \frac{1}{2}&=&2\left(x-\frac{1}{2}\right)\\
y&=&2x-1+\ln \frac{1}{2}\\
\end{array}$$
Rovnica dotyčnice $t$ má rovnicu $y=2x+\ln \frac{1}{2}-1$.
