Zložená funkcia - Príklad 2

Zložená funkcia 

Príklad 2

Zostrojte zložené funkcie:
$(f\circ g)$, $(g\circ f)$, $(f\circ f)$, $(g\circ g)$, ak $f(x)= \sqrt{x}$ a $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$. Ak je to možné, výsledný vzťah zjednodušte.

 

Riešenie:

Definičným oborom danej funkcie $f(x)= \sqrt{x}$ je  $D(f)= \langle0,\infty)$ a funkcie $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$ je $D(g)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$

1. $(f\circ g)(x)=f(g(x))= \sqrt{\frac{1}{x+2}}$

Pričom definičný obor kompozície nájdeme z nasledujúcich podmienok:
$$x\in D(f\circ g) \Leftrightarrow x\in D(g) \wedge g(x)\in D(f)$$

Definičný obor kompozície $D(f\circ g)$ určíme z nasledujúcich podmienok:

• $x\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in  D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\geq 0$. Podiel je kladný, ak menovateľ  $x+2 > 0$.

$D(f\circ g)= (-2, \infty)$.

2. $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))= \frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Pričom definičný obor funkcie $D(g\circ f)$ nájdeme z podmienok:

• $x\in D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $x\geq 0$ a zároveň
• $f(x)\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $\sqrt{x}+2\neq 0$.

Keďže druhá z podmienok je vždy splnená $D(g\circ f)=\langle0, \infty)$.

3. $(f\circ f)(x)=f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}= \sqrt[4]{x}$

Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch určíme definičný obor kompozície:

• $x\in D(f)$, teda $x\geq 0$ a zároveň
• $f(x)\in D(f)$, teda $\sqrt{x}\geq 0$.

$D(f\circ f) =\langle 0, \infty)$

4. $\displaystyle (g\circ g)(x)=g(g(x))= \frac{1}{\frac{1}{x+2}+2}$

$D(g\circ g)(x)$ určíme z podmienok:

• $x\in D(g)$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in D(g)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\neq-2$.

$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{x+2}+2&\neq& 0\\ \frac{2x+5}{x+2}&\neq& 0\\ x&\neq& -\frac{5}{2}\\ \end{array}$$
$\displaystyle D(g\circ g)(x)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2, - \frac{5}{2}\}$.