Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 4

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$\begin{array}{rrr}  2x_1-x_2-x_3&=&4\\  3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\  3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\ \end{array}$$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 2& -1&-1&4\\ 3 & 4&-2&11\\ 3 & -2&4&11\\ \end{array} \right)$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $\left[x_1;x_2; x_3 \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$D= \left| \begin{array}{rrr} 2& -1&-1\\ 3 & 4&-2\\ 3 & -2&4\\ \end{array}\right| =60$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x_1$, $x_2$ a $x_3$ vypočítame využitím vzťahov:
$$x=\frac{D_{x_1}}{D},$$
$$y=\frac{D_{x_2}}{D},$$
$$z=\frac{D_{x_3}}{D},$$
kde determinant $D_{x_1}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_1$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{x_2}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_2$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{x_3}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_3$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$D_{x_1}= \left| \begin{array}{rrr} 4& -1&-1\\ 11 & 4&-2\\ 11 & -2&4\\  \end{array}\right| =180$$
$$D_{x_2}= \left| \begin{array}{rrr} 2& 4&-1\\ 3 & 11&-2\\ 3 & 11&4\\ \end{array}\right| =60$$
$$D_{x_3}= \left| \begin{array}{rrr} 2& -1&4\\ 3 & 4&11\\ 3 & -2&11\\ \end{array}\right| =60$$
Samotné riešenie sústavy:
$$x=\frac{D_{x_1}}{D}= \frac{180}{60}=3$$
$$y=\frac{D_{x_2}}{D}= \frac{60}{60}=1$$
$$z=\frac{D_{x_3}}{D}= \frac{60}{60}=1$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $\left[3;1;1 \right]$.