Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 4

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
 2x_1-x_2-x_3&=&4\\
 3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\
 3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\
\end{array} $$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
2& -1&-1&4\\
3 & 4&-2&11\\
3 & -2&4&11\\
\end{array} \right)
$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $ \left[x_1;x_2; x_3 \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$
D= \left|
\begin{array}{rrr}
2& -1&-1\\
3 & 4&-2\\
3 & -2&4\\
\end{array}\right| =60
$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x_1$, $x_2$ a $x_3$ vypočítame využitím vzťahov:
$$
x=\frac{D_{x_1}}{D},
$$
$$
y=\frac{D_{x_2}}{D},
$$
$$
z=\frac{D_{x_3}}{D},
$$
kde determinant $D_{x_1}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_1$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{x_2}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_2$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{x_3}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_3$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$
D_{x_1}= \left|
\begin{array}{rrr}
4& -1&-1\\
11 & 4&-2\\
11 & -2&4\\
 \end{array}\right| =180
$$
$$
D_{x_2}= \left|
\begin{array}{rrr}
2& 4&-1\\
3 & 11&-2\\
3 & 11&4\\
\end{array}\right| =60
$$
$$
D_{x_3}= \left|
\begin{array}{rrr}
2& -1&4\\
3 & 4&11\\
3 & -2&11\\
\end{array}\right| =60
$$
Samotné riešenie sústavy:
$$
x=\frac{D_{x_1}}{D}= \frac{180}{60}=3
$$
$$
y=\frac{D_{x_2}}{D}= \frac{60}{60}=1
$$
$$
z=\frac{D_{x_3}}{D}= \frac{60}{60}=1
$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $ \left[3;1;1 \right]$.