Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov

 

Príklad 2

Zistite, či vektory $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $\mathbf{b}=(2;-1;1)$, $\mathbf{c}=(1;7;8)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé.

Riešenie:

Tak ako v predchádzajúcom príklade zisťujem pre aké konštanty $k_1, k_2, k_3$ je lineárna kombinácia vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ rovná nulovému vektoru.
$$k_1\cdot\mathbf{a} +k_2\cdot\mathbf{b} +k_3\cdot\mathbf{c} =\mathbf{0}$$
$$k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+ k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+ k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=  \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3\\ 2\cdot k_1 -1\cdot k_2+7\cdot k_3\\3\cdot k_1 +1\cdot k_2+8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$

Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray*}   k_1 +2k_2+k_3 & =& 0\\  2k_1 - k_2+7k_3 & =& 0\\  3k_1 +k_2+8k_3 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

Z prvej rovnice vyjadríme jednu neznámu (napr. $k_1$) a dosadíme do ďalších dvoch.
$$\begin{eqnarray*}  k_1 & = & -2\cdot k_2-k_3 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  2\cdot (-2\cdot k_2-k_3) - k_2+7\cdot k_3 & = & 0\\  3\cdot (-2\cdot k_2-k_3) + k_2+8\cdot k_3 & = & 0 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  -4k_2-2k_3 - k_2+7 k_3 & =& 0\\  -6 k_2-3k_3 + k_2+8k_3 & =& 0 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}  -5k_2+5 k_3  =  0\\  -5k_2+5k_3  =  0 \end{eqnarray*}$$

Máme dve identické rovnice, teda je evidentné, že jednu z nich môžeme vynechať.

Teda máme jednu rovnicu o dvoch neznámych.
$$-5k_2+5 k_3 = 0$$
Takáto rovnica má nekonečne veľa riešení. Voľbou parametra: $\displaystyle k_3=t$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$. Z poslednej rovnice dopočítame $k_2$, $k_2=t$ a z prvej rovnice $\displaystyle 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3=0$ dostávame, že $\displaystyle k_1=-3t$.

Sústava troch rovníc o troch neznámych má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice $\displaystyle [-3t,t,t]$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$.

Keďže lineárna kombinácia vektorov $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ je rovná nulovému vektoru, aj keď existuje taká trojica $k_1, k_2$ a $k_3$ (napr.$\displaystyle k_1=-3, k_2=1,  k_3=1$), kde aspoň jedna konštanta je rôzna od nuly, sú vektory $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ lineárne závislé.