Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale

Príklad 1

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
$$f(x)=x^2e^{-x}, x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

Riešenie

Spojitá funkcia môže nadobúdať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v uzavretom intervale v bodoch:

• v ktorých existujú lokálne extrémy funkcie,
• kde neexistuje prvá derivácia funkcie,
• a v hraničných bodoch intervalu.

Najprv nájdeme lokálne extrémy funkcie $f$.
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov funkcie:

1. Určiť definičný obor funkcie,
2. vypočítať prvú deriváciu a položiť ju rovnú nule (nájsť kandidátov na lokálne extrémy funkcie teda stacionárne body),
3. vypočítať druhú deriváciu funkcie a určiť znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie.

1. V zadaní úlohy je špecifikovaný interval, na ktorom vyšetrujeme maximum a minimum funkcie.
Teda nie je potrebné určiť definičný obor funkcie.
$$x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

2. Vypočítame prvú deriváciu funkcie a položíme ju rovnú nule:
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f^{\prime}(x)=({x^2})^{\prime}e^{-x}+x^2({e^{-x}})^{\prime}$$
$$f^{\prime}(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime}(x)=0$$
$$e^{-x}(2x-x^2)=0$$
$e^{-x}=0$ alebo $(2x-x^2)=0$
Neexistuje také $x$,  funkcia  $e^{-x}$ je rovná nule.

Graf funkcie:

Súčin dvoch funkcií $e^{-x}(2x-x^2)$ je rovný nule, ak $2x-x^2=0$.
Tento súčin je rovný nule, ak $x=0$ alebo $x=2$.
Keďže $2\notin\left\langle-1, 1 \right\rangle$,  zistíme či v bode $[0;f(0)]$ je lokálny extrém funkcie $f$.

3. Vypočítame druhú deriváciu funkcie a určíme znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie pomocou vety:
Ak $f^{\prime \prime}(x)>0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne minimum.
Ak $f^{\prime \prime}(x)<0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne maximum.
$$f^{\prime}(x)=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=(e^{-x})^{\prime}(2x-x^2)+e^{-x}(2x-x^2)^{\prime}$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-1)(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-2x+x^2+2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2)$$
$$f^{\prime \prime}(0)=e^{-0}(0^2-4\cdot0+2)=1 \cdot 2=2>0$$
V bode $[0;0]$ je lokálne minimum.

V závere už len zistíme funkčné hodnoty v hraničných bodoch intervalu, keďže derivácia funkcie existuje na celom $\mathrm{R}$.
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f(-1)=(-1)^2e^{-(-1)}=e$$
$$f(1)=1^2e^{-1}=\frac{1}{e}$$

Najväčšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale  $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[-1;e]$.
Najmenšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[0;0]$.

Neurčitý integrál - Príklad 3

Neurčitý integrál 

Substitučná metóda
Hlavnou myšlienkou substitučnej metódy je vo výpočte ekvivalentne nahradiť pôvodný integrál takým integrálom, ktorý sa ľahšie vypočíta.
Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp ukážeme v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}=*
$$
Často je vhodné zvoliť do substitúcie vnutornú zložku zloženej funkcie
$$\begin{eqnarray*}
 -x^2&=&u \quad \textrm{derivujeme}\\
 -2x\mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\
 x\ \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
*=\int{ e^{-x^2}\cdot \underbrace{x\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{-2}}}
$$
Substitúcia je vtedy dobrá, ak po jej zavedení sa vo výraze nevyskytuje premenná $x$.

$$\int{e^u\ \frac{\mathrm{d}u}{-2}}=-\frac{1}{2}\cdot \int{e^u\ \mathrm{d}u}= -\frac{1}{2}\cdot e^u+C=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2}+C
$$

Neurčitý integrál - Príklad 2

Neurčitý integrál 

Príklad 2  

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\tan^2 x\, \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Keďže  $\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ a platí vzťah $1=\sin^2 x+\cos^2 x$, daný integrál môžeme vypočítať nasledovne:

$$\int{\tan^2 x\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}\right)\ \mathrm{d}x}=$$

$$\int{\frac{1}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}-\int{1\, \mathrm{d}x}=\tan x-x+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 1

Neurčitý integrál

Príklad 1 Vypočítajte neurčitý integrál

$$
\int{\left(3x-\sqrt{x}+4\cos{x}-2e^x\right)\, \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

Na výpočet tohto integrálu použijeme všeobecné pravidlá integrovania.
$$
\int{\left(3x-\sqrt{x}+4\cos{x}-2e^x\right)\, \mathrm{d}x}=\int{3x\, \mathrm{d}x}-\int{x^{\frac{1}{2}}\, \mathrm{d}x}+\int{4\cos{x}\, \mathrm{d}x}-
\int{2e^x\, \mathrm{d}x}
$$
$$
=3\int{x\, \mathrm{d}x}-\int{x^{\frac{1}{2}}\, \mathrm{d}x}+4\int{\cos{x}\, \mathrm{d}x}-2\int{e^x\, \mathrm{d}x}=
$$
$$3\frac{x^2}{2}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+4\sin{x}-2e^x+C =\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+4\sin{x}-2e^x+C$$

Rozbor úloh

Rozbor úloh

1. Riešte sústavu lineárnych algebrických rovníc a urobte skúšku správnosti.
$$
\begin{array}{ccc}
 2x_1-x_2-x_3&=&4\\
 3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\
 3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\
\end{array}
$$ (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4.)

2.Zistite, či vektory $\vec{a}=(1;2;3)$, $\vec{b}=(2;-1;1)$, $\vec{c}=(1;7;8)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé. (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2.)

3. Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1& 1&1\\
1 & 2& 3&4\\
1 & 3& 6&10\\
1 & 4& 10&20\\
\end{array} \right|
$$ (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 6.)

4.  Nájdite všetky matice $X$ spĺňajúce danú maticovú rovnicu
$$X\cdot A= B\cdot C^{\mathrm{T}}\ ,\text{ ak}$$
$$
A= \left(\begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array}\right),
B= \left(\begin{array}{rrr} -1& 3 &-4 \\ 1& 2 & 0 \end{array}\right),
C= \left(\begin{array}{rrr} 0& -2 &-3 \\ 4& 3 & -1 \end{array}\right)
$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Maticová rovnica - Príklad 1.)

5. Určte definičný obor nasledujúcej funkcie.
$$f: y= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Definičný obor funkcie - Príklad 6.)

6. Vypočítajte limitu $$\lim_{x\rightarrow -1} \frac{x^2-x-2}{x+1}.$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Limita funkcie - Príklad 1.)

7. Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom:
$$ a_n=3+\frac{1}{n}$$
Určte limitu tejto postupnosti.
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Postupnosti - Príklad 1.)

8. Nájdite rovnicu dotyčnice v bode $ T=[1;y_0]$ ku krivke
$$ y=3x(2-x).$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 1.)

9. Vypočítajte deriváciu funkcie a výsledok upravte.
$$ g(x)=\frac{\ln{x}}{x}+ e^x(\sin x+ \cos x)$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Derivácia funkcie - Príklad 10.)

10. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
$$g(x)=x^2\cdot e^{-x},\, x\in\left\langle -1,1\right\rangle $$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1.)