Matice, základné operácie s maticami - Príklad 4

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 4

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$ a $B\cdot A$, ak existuje:
$$
A=\left( \begin{array}{rrr}
1 & 3 & 4 \\
-2 & 3 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{array} \right),
B=\left( \begin{array}{r}
1\\
-1\\
0
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Súčin $A\cdot B$ existuje, keďže matica A má rovnaký počet stĺpcov (t.j. 3) ako má matica B riadkov (taktiež 3) a výsledná matica bude mať rozmer $3\times 1$.

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$
C=A\cdot B =
\underbrace{\left( \begin{array}{rrr}
1 & 3 & 4\\
-2 & 3 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 3}\cdot
\underbrace{\left( \begin{array}{r}
1\\
-1\\
0
\end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 1}=
\left( \begin{array}{r}
c_{1,1}\\
c_{2,1}\\
c_{3,1}
\end{array} \right)$$
Prvok $c_{1,1}$ vo výslednej matici vznikne skalárnym súčinom prvého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$. Teda $c_{1,1} = (1;3;4)\cdot(1;-1;0)$. Podobne $c_{2,1}= (-2;3;1)\cdot(1;-1;0) $, kde vektor $(-2;3;1)$ je druhý riadok matice $A$ a $c_{3,1}= (4;1;2)\cdot(1;-1;0) $.
$$
\left( \begin{array}{r}
c_{1,1}\\
c_{2,1}\\
c_{3,1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r}
1\cdot 1 + 3\cdot (-1) + 4\cdot 0\\
-2\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 1\cdot 0\\
4\cdot 1 + 1\cdot (-1) + 2\cdot 0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{r}
1-3-0\\
-2-3+0\\
4 -1+ 0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{r}
-2\\
-5\\
3
\end{array} \right)
$$

Súčin matíc $B\cdot A $ nie je definovaný, keďže počet stĺpcov matice $B$ (t.j. 1) je rozdielny od počtu riadkov matice $A$ (t.j. 3).

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 3

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 3

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$:
$$
A=
\left( \begin{array}{rr}
3 & 2 \\
5 &1
\end{array} \right),
B=
\left( \begin{array}{rr}
1 &-2\\
2 & 3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$
\left( \begin{array}{rr}
3 & 2\\
5 & 1
\end{array} \right)
\cdot
\left(\begin{array}{rr}
1 & -2\\
2 & 3
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{rr}
c_{1,1} & c_{1,2}\\
c_{2,1} &c_{2,2}
\end{array} \right)
$$
Prvok $c_{1,1}$ vznikne ako výsledok skalárneho súčinu vektora $(3,2)\cdot(1,2)$, kde vektor $(3,2)$ je riadkový vektor matice $A$ a vektor $(1, 2)$ je stĺpcový vektor matice $B$.
Prvok $c_{1,2} =(3, 2)\cdot(-2, 3)$, $c_{2,1} =(5,1)\cdot(1,2)$, $c_{2,2} =(5,1)\cdot(-2,3)$.

$$
\left(\begin{array}{rr}
c_{1,1} & c_{1,2}\\
c_{2,1} &c_{2,2}
\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rr}
3\cdot 1 + 2\cdot 2 & 3\cdot(-2) + 2\cdot 3\\
5\cdot 1 + 1\cdot 2 & 5\cdot(-2) + 1\cdot 3
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr}
7 & 0\\
7 &-7
\end{array} \right)
$$

V nasledujúcich riadkoch je zachytená vizualizácia riešenia. Táto vizualizácia je ovládané iba šípkami vľavo a vpravo. VŠö prehliadaŤ nepodporuje Canvas...

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov

 

Príklad 2

Zistite, či vektory $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $\mathbf{b}=(2;-1;1)$, $\mathbf{c}=(1;7;8)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé.

Riešenie:

Tak ako v predchádzajúcom príklade zisťujem pre aké konštanty $k_1, k_2, k_3 $ je lineárna kombinácia vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ rovná nulovému vektoru.
$$
k_1\cdot\mathbf{a} +k_2\cdot\mathbf{b} +k_3\cdot\mathbf{c} =\mathbf{0}
$$
$$
k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+
k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+
k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=
 \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3\\ 2\cdot k_1 -1\cdot k_2+7\cdot k_3\\3\cdot k_1 +1\cdot k_2+8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)
$$

Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych:
\begin{eqnarray*}
  k_1 +2k_2+k_3 & =& 0\\
 2k_1 - k_2+7k_3 & =& 0\\
 3k_1 +k_2+8k_3 & = & 0
\end{eqnarray*}

Z prvej rovnice vyjadríme jednu neznámu (napr. $k_1$) a dosadíme do ďalších dvoch.
\begin{eqnarray*}
 k_1 & = & -2\cdot k_2-k_3
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 2\cdot (-2\cdot k_2-k_3) - k_2+7\cdot k_3 & = & 0\\
 3\cdot (-2\cdot k_2-k_3) + k_2+8\cdot k_3 & = & 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 -4k_2-2k_3 - k_2+7 k_3 & =& 0\\
 -6 k_2-3k_3 + k_2+8k_3 & =& 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 -5k_2+5 k_3  =  0\\
 -5k_2+5k_3  =  0
\end{eqnarray*}

Máme dve identické rovnice, teda je evidentné, že jednu z nich môžeme vynechať.

Teda máme jednu rovnicu o dvoch neznámych.
$$
 -5k_2+5 k_3 = 0
$$
Takáto rovnica má nekonečne veľa riešení. Voľbou parametra: $\displaystyle k_3=t$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$. Z poslednej rovnice dopočítame $k_2$, $k_2=t$ a z prvej rovnice $\displaystyle 1\cdot k_1 +2\cdot k_2+1\cdot k_3=0$ dostávame, že $\displaystyle k_1=-3t$.

Sústava troch rovníc o troch neznámych má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice $\displaystyle [-3t,t,t]$, kde $\displaystyle t\in \mathbb{R}$.

Keďže lineárna kombinácia vektorov $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ je rovná nulovému vektoru, aj keď existuje taká trojica $k_1, k_2$ a $k_3$ (napr.$\displaystyle k_1=-3, k_2=1,  k_3=1$), kde aspoň jedna konštanta je rôzna od nuly, sú vektory $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ lineárne závislé.

Neurčitý integrál - Príklad 1

Neurčitý integrál

Príklad 1.

Dokážte, že funkcia $F(x)= \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ je primitívnou funkciou k funkcii $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

Riešenie:

\begin{equation} F^{\prime}(x)=\left[\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)\right]^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left[x+\sqrt{1+x^2}\right]^{\prime}= \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)= \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=f(x) \end{equation}

Určitý integrál - Príklad 2

Určitý integrál 

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál

$$
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle\int{\sin{2x}\ \mathrm{d}x}$ použijeme substitučnú metódu.
Zderivujeme obe strany nasledujúcej rovnosti
\begin{eqnarray*}
2x&=&u \\
 2\ \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\
 \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{2}
\end{eqnarray*}

Po dosadení dostávame:
$$
\int{\sin{2x}\ dx}=\int{\sin(\underbrace{2x}_{u})\cdot \underbrace{\mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{2}}}=\frac{1}{2}\int{\sin u\ \mathrm{d}u}=\frac{1}{2}(-\cos u)=-\frac{1}{2}\cos{2x}
$$
Následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu
$$
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\ dx}=\left[-\frac{1}{2}\cos{2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(2\cdot 0\right)\right]=
$$
$$
-\frac{1}{2}\left[\cos \pi - \cos 0\right]=-\frac{1}{2}(-1-1)=1
$$

Určitý integrál - Príklad 3

Určitý integrál 

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}
$$

Riešenie:

Najprv vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ a následne použijeme N-L formulu.

Na výpočet neurčitého integrálu $\displaystyle\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}$ použijeme substitučnú metódu.
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x}&=&u \\
 -\frac{1}{x^2}\ dx&=&du\\
\frac{1}{x^2}\ dx&=&-du\\
\end{eqnarray*}

Súčin upravíme tak, aby sme mohli priamo zaviesť substitúciu:
$$
\int{\underbrace{e^{\frac{1}{x}}}_{u}\cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}\ dx}_{du}}=-\int{e^{u}\ du}= -e^u=-e^\frac{1}{x}
$$
$$
\int\limits_1^2{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\ dx}=\left[-e^\frac{1}{x}\right]_1^2=-e^\frac{1}{2}+e.
$$

Určitý integrál - Príklad 4

Určitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}
$$

Riešenie: 

Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu Per - partes.
$$
\int{\mathrm{arctg}\ x\ dx}
$$
$$
\begin{eqnarray*}
\mathrm{arctg}\ x&=&u \qquad 1=v^\prime \\
\frac{1}{x^2+1}&=&u^\prime \qquad x=v\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
 =x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ dx}=x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=*
$$
Integrál $\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}$ vypočítame substitučnou metódou:
\begin{eqnarray*}
x^2+1&=&u \\
2x\ dx&=&du\\
x\ dx&=&\frac{1}{2}du\\
\end{eqnarray*}
$$
\int{\frac{x}{x^2+1}\ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u}\ du}= \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c
$$

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:
$$
*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+c
$$
V závere použijeme N-L formulu:
$$
\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ dx}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|\right]_0^1=
$$
$$
1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln\left|1^2+1\right|-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln\left|0^2+1\right|\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.
$$

Určitý integrál - Príklad 1

Určitý integrál

Newton-Leibnizova formula
Nasledujúca, tzv. Newton-Leibnizova formula (ďalej iba N-L formula) charakterizuje vzťah medzi určitým a neurčitým integrálom a slúži pri výpočte určitého integrálu.
$$
\int\limits_a^b{f(x)\ dx}= \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a),
$$
kde $F(x)$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, t.j. platí $F^{\prime}(x)=f(x)$ pre všetky $x\in\left\langle a,b\right\rangle$.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie:

Vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $x^2$ a následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu na výpočet určitého integrálu.
$$
\int{x^2 \ \mathrm{d}x}=\frac{x^3}{3}+C
$$
Pri výpočte určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovej formuly nie je nutné do vzorca dosadzovať integračnú konštantu $C$. Keďže pri dosadení do N-L vzorca sa táto integračná konštanta odčíta.
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}=\left[\frac{x^3}{3}+C\right]_{-1}^4=\frac{4^3}{3}+C-\left(\frac{(-1)^3}{3}+C\right)=\frac{4^3}{3}- \frac{(-1)^3}{3}=\frac{65}{3}.
$$