Neurčitý integrál - Príklad 7

Neurčitý integrál

 

Príklad 7

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$ je rýdzoracionálna, keďže v čitateli je polynóm nultého stupňa a v menovateli polynóm tretieho stupòa.

Polynóm $x^2+4$ je ireducibilný nad $\mathbb{R}$ (nerozložiteľný na súčin polynómov prvého stupňa s reálnymi koeficientami). Preto v menovateli druhého zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa.

Teda hľadáme nasledujúci rozklad na parciálne zlomky:
$$\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$$
$$\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}=$$
$$\frac{Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+4)}$$
Aby sa zlomky rovnali musí platiť:
$$\begin{eqnarray*} 1&=&Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C\\ 1&=&(A+B)x^2+(C-B)x+(4A-C)\\ \end{eqnarray*}$$
Riešime sústavy lineárnych rovníc (troch rovníc o troch neznámych).
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri}\qquad x^2; \quad A+B&=&0\\ \qquad x^1; \quad C-B&=&0\\ \qquad x^0; \quad 4A-C&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
$$A=\frac{1}{5}\ \ \ B=-\frac{1}{5}\ \ C=-\frac{1}{5}$$
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\frac{1}{5}}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x+1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{10}\ln\left|x^2+4\right|-\frac{1}{10}\arctan\frac{x}{2}+C$$