Limita postupnosti - Príklad 2

Limita postupnosti 

Príklad 2

Vypočítajte limitu postupnosti
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n
$$

Riešenie:

Limitu postupnosti  $$\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n $$ upravíme tak, aby sme mohli využiť vzťah:
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e
$$
$$
\frac{n-1}{n+1}= \frac{n-1-1+1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{2}{n+1}=1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}
$$
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n =\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}\right)}}^n
$$
Zavedieme substitúciu:
$$\frac{n+1}{-2}=t$$
$$n+1=-2t$$
$$n=-2t-1$$
vrátime sa príkadu:
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t-1}=
\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=$$
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-2}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=e^{-2}$$