Derivácia funkcie - Príklad 10

Derivácia funkcie

Príklad 10

Vypočítajte deriváciu funkcie $g$ a výsledok upravte.
$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$

Riešenie

$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$
Derivácia súčtu funkcií je súčet derivovaných funkcií.
$$g^{\prime}(x)=\left (\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}+(e^x(\sin x+\cos x))^{\prime}$$
$$= \frac{(\ln x)^{\prime} x - \ln x (x) ^{\prime}}{x^2}+{e^x}^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}$$
$$= \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}+e^x (\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)$$ 
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x (\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)$$
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x \cdot 2\cos x$$