Vektory
Príklad 1a)
Pre aké hodnoty parametra $ p\in\mathbb{R}$ je vektor $\mathbf{d}$ lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $ \mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$, ak $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $ \mathbf{b}=(2;-1;1)$, $ \mathbf{c}=(1;7;8)$, $ \mathbf{d}=(4;3;p)$
Riešenie:
Vektor $ \mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$ práve vtedy, ak existujú koeficienty $k_1,k_2,k_3$ spĺňajúce rovnosť:
$$
k_1\cdot \mathbf{a} +k_2\cdot \mathbf{b} +k_3\cdot \mathbf{c} =\mathbf{d}
$$
$$
k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+
k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+
k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r}
1\cdot k_1 + 2\cdot k_2 + 1\cdot k_3\\
2\cdot k_1 -1\cdot k_2 + 7\cdot k_3\\
3\cdot k_1 +1\cdot k_2 + 8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy lineárnych algebrických rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray}
k_1 + 2k_2 + k_3&=&4\\
2 k_1 -k_2 + 7k_3&=&3\\
3k_1 + k_2 + 8k_3&=&p\\
\end{eqnarray}$$
Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ práve vtedy, ak táto sústava troch rovníc s neznámymi $k_1,k_2,k_3$ má riešenie.
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
1& 2 & 1&4\\
2& -1 & 7&3\\
3& 1 & 8&p\\
\end{array}\right)
\sim
\left( \begin{array}{rrr|l}
1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
0& -5 & 5&-5\\
0& -5 & 5&p-12\\
\end{array}\right)
\sim
\left( \begin{array}{rrr|l}
1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
0& -5 & 5&-5\\
0& 0 & 0&p-7\\
\end{array}\right)
$$
Sústava lineárnych rovníc má riešenie iba v prípade, že $p-7 =0$. Teda, ak $p=7$.
Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ len vtedy, ak $p=7$.
