štvrtok 19. decembra 2013

Vybrané druhy limít

Limity typu "e"

Veta Ak pre postupnost ${a_n}_{n=1}^{\infty}$ platí $\lim_{n\to \infty} \left|a_{n}\right|=\infty$ a mocnina $\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}$ je definovaná pre $\forall n\in N$, potom platí:
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}=e.$$

Túto vetu využívame pri riešení limít s neurčitosťou typu $1^{\infty}.$

 

Príklad 1


Vypočítajte nasledujúce limity:
  1. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$
  2. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$
  3. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$

Riešenie 

  1. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$ je limita typu $1^{\infty}$, čo si môžeme overiť po dosadení, takúto neurčitosť nevieme priamo vypočítať a preto využijeme vyššie uvedený vzťah. Aby sme tento vzťah mohli použiť musíme limitu upraviť do požadovaného tvaru. Najprv rozdelíme čitateľa na dva samostatné zlomky.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n}+\frac{2}{3n}\right)^{n}$$

     Následne prvý zlomok vydelíme a dostávame chýbajúcu 1, druhý zlomok predelíme 2, aby sme dostali v menovateli 1.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}$$.

    Na to aby sme mohli využiť vyššie spomínanú vetu potrebujeme mať v mocnine $\frac{3n}{2}$, preto rozšírime mocninu číslom $\frac{3}{2}$, t.j. násobíme  $\frac{3}{2}$ čitateľa aj menovateľa mocniny, keďže pre zlomky platí vzťah $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, môžeme mocninu rozšíriť $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}$.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}$$.

    Po úprave dostávame:

    $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}=\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}$$.

    Po aplikovaní vyššie spomínanej vety teda máme:

    $$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}=e^{\lim_{n\to \infty}\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}$$
     
  2. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$ je taktiež limitou typu $1^{\infty}$, teda postupujeme obdobne ako v predchádzajúcom príklade. No využijeme iný typ úpravy, aby sme osamostatnili jednotku, pripočítame aj odpočítame ju k postupnosti.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}$$

    Keďže druhú jednotku nepotrebujeme, dáme zlomok aj -1 na spoločného menovateľa a upravíme zlomok na požadovaný tvar.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-\frac{2n}{2n}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{2n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

    Následne využijeme vetu a dostávame:

    $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$
  3. Posledná limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$ je typu $1^{\infty}$. Na tejto limite si ukážeme tretí spôsob úpravy, aby sme dostali požadovaný tvar, a to tak že čitateľ zlomku rozšírime pričítaním a odčítaním výrazu v menovateli, následne zlomok rozložíme na dva zlomky tak, aby sme dostali 1. Následné úpravy sú totožné ako v prvom príklade.

    $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+(3n+2)-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n+2}+\frac{3n-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3n-3n-2}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{2}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{n\cdot\frac{3n+2}{2}\cdot\frac{2}{3n+2}}= \left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{n\cdot\frac{2}{3n+2}}=$$ $$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2}{3+\frac{2}{n}}}=e^{-\frac{2}{3}}$$ 

Limity typu $k^{\infty}$

 
Ďalším typom limít, sú limity typu $k^{\infty}$, pri týchto limitách môžeme využiť známe vzťahy:
$$\lim_{n\to \infty} k^n=+\infty, \text{ kde } k>1$$
$$\lim_{n\to \infty} k^n=0, \text{ kde } k<1$$

Príklad 2


Vypočítajte nasledujúce limity:
  1. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$ 
  2. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$ 

Riešenie


  1. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$ , ako aj nasledujúca limita zvádza použiť vzťah/vetu, ktorú sme doteraz používali no nie je to limita typu $1^{\infty}$, ale ide o limitu typu $k^{\infty}$, kde $k\neq 1$.

    Limity daného typu riešime rozšírením zlomku najväčšou mocninou $n$ v menovateli teda dostávame

    $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3+\frac{2}{n}}{2}\right)^{n}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\infty}=\infty$$ 

    POZNÁMKA: Ak by sme limitu riešili pomocou úpravy na "e" tvar, síce dostaneme v tomto prípade rovnaký výsledok ale postup je nesprávny, teda príklad je zle vyriešený!!
  2. Limitu $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$ riešime rovnako ako v predchádzajúcom príklade a teda:

    $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2+\frac{2}{n}}{3}\right)^{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\infty}=0$$

štvrtok 3. januára 2013

Vektory - Príklad 1a)

Vektory


Príklad 1a)


Pre aké hodnoty parametra $ p\in\mathbb{R}$ je vektor $\mathbf{d}$ lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $ \mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$, ak $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $ \mathbf{b}=(2;-1;1)$, $ \mathbf{c}=(1;7;8)$, $ \mathbf{d}=(4;3;p)$

Riešenie:


Vektor $ \mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$ práve vtedy, ak existujú koeficienty $k_1,k_2,k_3$ spĺňajúce rovnosť:
$$
k_1\cdot \mathbf{a} +k_2\cdot \mathbf{b} +k_3\cdot \mathbf{c} =\mathbf{d}
$$
$$
k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+
k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+
k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=
 \left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r}
1\cdot k_1 + 2\cdot k_2 + 1\cdot k_3\\
2\cdot k_1 -1\cdot k_2 + 7\cdot k_3\\
3\cdot k_1 +1\cdot k_2 + 8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy lineárnych algebrických rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray}
  k_1 + 2k_2 + k_3&=&4\\
  2 k_1 -k_2 + 7k_3&=&3\\
  3k_1 + k_2 + 8k_3&=&p\\
\end{eqnarray}$$

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ práve vtedy, ak táto sústava troch rovníc s neznámymi $k_1,k_2,k_3$ má riešenie.
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
 1& 2 & 1&4\\
 2& -1 & 7&3\\
 3& 1 & 8&p\\
 \end{array}\right)
 \sim
 \left( \begin{array}{rrr|l}
 1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
 0& -5 & 5&-5\\
 0& -5 & 5&p-12\\
 \end{array}\right)
  \sim
 \left( \begin{array}{rrr|l}
 1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
 0& -5 & 5&-5\\
 0& 0 & 0&p-7\\
 \end{array}\right)
 $$

Sústava lineárnych rovníc má riešenie iba v prípade, že $p-7 =0$. Teda, ak $p=7$.

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ len vtedy, ak  $p=7$.