Neurčitý integrál - Príklad 1

Neurčitý integrál

Príklad 1.

Dokážte, že funkcia $F(x)= \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ je primitívnou funkciou k funkcii $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

Riešenie:

\begin{equation} F^{\prime}(x)=\left[\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)\right]^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left[x+\sqrt{1+x^2}\right]^{\prime}= \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)= \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=f(x) \end{equation}