Neurčitý integrál - Príklad 4

Neurčitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}=**
$$
Substitúcia:
$$
\begin{eqnarray*}
x^2+6x+1&=&t\\
(2x+6)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\
2(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\
(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{2}\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
**=\int{\sqrt{x^2+6x+1}\underbrace{(x+3)\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}t}{2}}} =\frac{1}{2}\int{\sqrt{t}\ \mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\int{t^\frac{1}{2}\ \mathrm{d}t}=
$$
$$
\frac{1}{2}\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+1)^\frac{3}{2}+C
$$