Neurčitý integrál - Príklad 4

Neurčitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}=**$$
Substitúcia:
$$\begin{eqnarray*} x^2+6x+1&=&t\\ (2x+6)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ 2(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ (x+3)\, \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{2}\\ \end{eqnarray*}$$
$$**=\int{\sqrt{x^2+6x+1}\underbrace{(x+3)\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}t}{2}}} =\frac{1}{2}\int{\sqrt{t}\ \mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\int{t^\frac{1}{2}\ \mathrm{d}t}=$$
$$\frac{1}{2}\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+1)^\frac{3}{2}+C$$