Určitý integrál - Príklad 5

Určitý integrál

Geometrická aplikácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Plošný obsah $S$ množiny bodov v rovine, ktoré spájajú nerovnosti $$a\leq x\leq b\ \text{ a }\ g(x)\leq y \leq f(x)$$ (t.j. množina bodov  medzi funkciami $g(x)$ a $f(x)$) je daný vzťahom

  $$\displaystyle S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$

Príklad 5

Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:
$$y=6x-x^2,  y=0$$

Riešenie:

Časť roviny ohraničená krivkou $y=6x-x^2$ a krivkou $y=0$ je znázornená na nasledujúcom obrázku:

Priamka $y=0$ pretne parabolu $y=6x-x^2$ v dvoch bodoch: v bode $[0;0]$ a v bode $[6;0]$.

Použijeme vzťah na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami:
$$S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$
$$S=\int\limits_0^6{\left(6x-x^2-0\right)\ dx}= \left[\frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^6= \frac{216}{2}-\frac{216}{3}=\frac{216}{6}=36.$$