Spojitosť funkcie

Príklad 1 

Dodefinujte funkciu f v bode c tak, aby bola v tomto bode spojitá.
$$f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}, c=1.$$

Riešenie
Platí, že funkcia $f(x)$ je spojitá v bode $x_{0}$ vtedy a len vtedy ak platí:

1. funkcia je definovaná v bode $x_{0}$, t.j. $x_{0}\in D(f)$,
2. funkcia $f(x)$ má v bode $x_{0}$ limitu ($\lim_{x \to x_{0^{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0^{+}}} f(x)$),
3. $\lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$.

Definičný obor tejto funkcie je zadefinovaný na všetkých reálnych číslach okrem 1, t.j. $D(f)=R-\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)$.

V ďalšom kroku zistíme či má funkcia v bode $c$ limitu:

$$\lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}$$

$(x^{3}-1)$ vieme rozpísať pomocou vzorca
$(a^{3}-b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1} x^{2}+x+1=1+1+1=3$$

Funkciu môžeme dodefinovať takto:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{3}-1}{x-1} & \textrm{, pre } x\neq 1,\\ 3 & \textrm{, pre } x=1. \end{array}\right.$$

Príklad 2
Zistite, či je funkcia $f$ bode $x_{0}=4$ spojitá
  $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4} & \textrm{, pre } x\neq 4,\\ 0 & \textrm{, pre } x=4. \end{array}\right.$$

 Riešenie: Vypočítame limitu funkcie v bode $x_{0}=4$.
  $$\lim_{x \to 4}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}$$
Túto limitu nevieme vypočítať, preto vyrátame limitu sprava a limitu zľava.
$$\lim_{x \to 4^{+}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=\infty$$
$$\lim_{x \to 4^{-}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=-\infty$$

Jednostranné limity sa nerovnajú a sú nevlastné. Bod $x_{0}=4$, je bod nespojitosti funkcie druhého druhu, t.j. funkcia nie je v bode $x_{0}=4$ spojitá. Takýto bod nevieme dodefinovať na spojitý.