Inverzná matica - Príklad 3

Inverzná matica

Príklad 3

Nájdite inverznú maticu k matici $C$, ak existuje.
$$C= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Najprv zistíme, či k danej matici existuje inverzná matica, t.j. či $\det{C} \neq0$.
Ak je $\det{C} \neq0$, tak k matici $C$ existuje inverzná (označujeme $C^{-1}$).
$$\det{C}= \left|\begin{array}{rrrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right|=5\neq0$$
Teda existuje inverzná matica  $C^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice s využitím ekvivalentných riadkových úprav (tieto úpravy sú zadefinované v kapitole: Matice, hodnosť matíc - Príklad 6.)

Vynásobíme prvý riadok matice konštantou $\frac{1}{2}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 2 & 2 &3&1&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l} \cdot\frac{1}{2} \\  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right)$$
Následne od druhého riadku odpočítame prvý riadok matice a k tretiemu riadku matice pripočítame prvý riadok (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}} \\ -R1\\ +R1\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right)$$
Potom druhý riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-1}{2}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \\  \cdot\frac{-1}{2}\\  \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right)$$
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus päťnásobok druhého riadku (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}}\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ -5R2\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1 \end{array} \right)$$
Tretí riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-4}{5}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \cdot\frac{-4}{5} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
Od prvého riadku matice odpočítame  $\frac{3}{2}$ tretieho riadku a od druhého $\frac{3}{4}$ riadku tri (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right) \begin{array}{l}  \cdot\frac{-3}{2}R3\\  \cdot\frac{-3}{4}R3\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
K prvému riadku matice pripočítame mínus jeden násobok riadku dva (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right) \begin{array}{l}  -R2\\   \phantom{\frac{3}{2}}\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 &0&-\frac{1}{5}&2&\frac{3}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
$$C^{-1}= \left( \begin{array}{rrr} -\frac{1}{5} & 2 &\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5}  \end{array} \right)$$