Inverzná matica - Príklad 3

Inverzná matica

Príklad 3

Nájdite inverznú maticu k matici $C$, ak existuje.
$$
C=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Najprv zistíme, či k danej matici existuje inverzná matica, t.j. či $\det{C} \neq0$.
Ak je $\det{C} \neq0$, tak k matici $C$ existuje inverzná (označujeme $C^{-1}$).
$$
\det{C}=
\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $C^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice s využitím ekvivalentných riadkových úprav (tieto úpravy sú zadefinované v kapitole: Matice, hodnosť matíc - Príklad 6.)

Vynásobíme prvý riadok matice konštantou $\frac{1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
2 & 2 &3&1&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{2} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
$$
Následne od druhého riadku odpočítame prvý riadok matice a k tretiemu riadku matice pripočítame prvý riadok (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-R1\\
+R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
Potom druhý riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \\
 \cdot\frac{-1}{2}\\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus päťnásobok druhého riadku (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-5R2\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
$$
Tretí riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-4}{5}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \cdot\frac{-4}{5} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
Od prvého riadku matice odpočítame  $\frac{3}{2}$ tretieho riadku a od druhého $\frac{3}{4}$ riadku tri (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \cdot\frac{-3}{2}R3\\
 \cdot\frac{-3}{4}R3\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
K prvému riadku matice pripočítame mínus jeden násobok riadku dva (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 -R2\\
  \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 &0&-\frac{1}{5}&2&\frac{3}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
$$
C^{-1}=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} & 2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5} 
\end{array} \right)
$$