Sústava lineárnych rovníc - Príklad 3

Sústava lineárnych rovníc 

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc nad $\mathbb{R}$.

$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ 2x_1+x_2-5x_3&=&1\\ x_1-x_2-x_3&=&-2\\ \end{array}$$

Riešenie

$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 2&1&-5&1\\ 1&-1&-1&-2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ -2R1\\ -R1\\ \end{array}\sim$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 0&-3&3&-1\\ 0&-3&3&-3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ -R2\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 0&-3&3&-1\\ 0&0&0&-2 \\ \end{array} \right)$$
Túto poslednú maticu prepíšeme do sústavy lineárnych rovníc:
$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ -3x_2+3x_3&=&-1\\ 0x_3&=&-2\\ \end{array}$$

Keďže posledná z rovníc výsledného systému je sporná, táto sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. A keďže výsledná sústava lineárnych rovníc je ekvivalentný s pôvodnou sústavou lineárnych rovníc (sústavy sú ekvivalentné lebo výsledná vznikla z pôvodnej iba použitím ekvivalentných úprav) množina ich riešení je rovnaká.

Sústava lineárnych rovníc:
$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ 2x_1+x_2-5x_3&=&1\\ x_1-x_2-x_3&=&-2\\ \end{array}$$
nemá riešenie.