Sústava lineárnych rovníc - Príklad 3

Sústava lineárnych rovníc 

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc nad $\mathbb{R}$.

$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
2x_1+x_2-5x_3&=&1\\
x_1-x_2-x_3&=&-2\\
\end{array}
$$

Riešenie

$$\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
2&1&-5&1\\
1&-1&-1&-2 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
-2R1\\
-R1\\
\end{array}\sim
$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
0&-3&3&-1\\
0&-3&3&-3 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
-R2\\
\end{array} \sim
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
0&-3&3&-1\\
0&0&0&-2 \\
\end{array} \right)
$$
Túto poslednú maticu prepíšeme do sústavy lineárnych rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
-3x_2+3x_3&=&-1\\
0x_3&=&-2\\
\end{array}
$$

Keďže posledná z rovníc výsledného systému je sporná, táto sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. A keďže výsledná sústava lineárnych rovníc je ekvivalentný s pôvodnou sústavou lineárnych rovníc (sústavy sú ekvivalentné lebo výsledná vznikla z pôvodnej iba použitím ekvivalentných úprav) množina ich riešení je rovnaká.

Sústava lineárnych rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
2x_1+x_2-5x_3&=&1\\
x_1-x_2-x_3&=&-2\\
\end{array}
$$
nemá riešenie.