Determinanty - Príklad 3

Determinanty

Príklad 3

Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie:

Na výpočet tohto determinantu použijeme metódu známu ako rozvoj determinantu podľa riadku (stĺpca). Túto metódu je možné použiť aj na výpočet determinantov z matice typu $3\times3$. Aby sme celý výpočet zjednodušili použijeme vlastnosti determinantov (spomenuté v predchádzajúcom príklade) nato, aby sme vytvorili riadok (stĺpec), ktorý obsahuje čo najväčší počet núl. Tieto úpravy niesú nutné, ale celý výpočet značne urýchlia.
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|= \dots = 5 \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & -4& -6&2\\
0 &9& 10&9\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|=
$$
Rozvoj determinantu urobíme podľa prvého stĺpca:
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|+ 
5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{2+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array} \right|+
$$
$$
5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{3+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
-4& -6&2\\
1& -1&1\\
\end{array} \right|
+5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{4+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
\end{array} \right|=
$$
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|
$$
Na výpočet tohto determinantu môžeme použiť opakovaný rozvoj determinantu alebo metódu známu ako Sarussovo pravidlo.
POZOR! Sarussovo pravidlo môžeme použiť LEN na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$!
$$
\left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|=
$$
$$
-4\cdot 10\cdot 1+9\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot (-6)\cdot 9-
\left[1\cdot 10\cdot 2+ (-1)\cdot 9\cdot (-4)+1\cdot 9\cdot (-6))\right]=
$$
$$
-40-18-54-20-36+54=-114
$$
Sarussovo pravidlo sme použili na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$, ktorý vznikol ako jeden z medzikrokov pri použití rozvoja. Našim cieľom bolo vypočítať determinant z matice typu $4\times 4$.
Vrátime sa teda o krok späť:
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|= 5\cdot (-114)= -570
$$