Determinanty - Príklad 3

Determinanty

Príklad 3

Vypočítajte determinant
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|$$

Riešenie:

Na výpočet tohto determinantu použijeme metódu známu ako rozvoj determinantu podľa riadku (stĺpca). Túto metódu je možné použiť aj na výpočet determinantov z matice typu $3\times3$. Aby sme celý výpočet zjednodušili použijeme vlastnosti determinantov (spomenuté v predchádzajúcom príklade) nato, aby sme vytvorili riadok (stĺpec), ktorý obsahuje čo najväčší počet núl. Tieto úpravy niesú nutné, ale celý výpočet značne urýchlia.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|= \dots = 5 \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & -4& -6&2\\ 0 &9& 10&9\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|=$$
Rozvoj determinantu urobíme podľa prvého stĺpca:
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|+  5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{2+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array} \right|+$$
$$5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{3+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ -4& -6&2\\ 1& -1&1\\ \end{array} \right| +5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{4+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ \end{array} \right|=$$
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|$$
Na výpočet tohto determinantu môžeme použiť opakovaný rozvoj determinantu alebo metódu známu ako Sarussovo pravidlo.
POZOR! Sarussovo pravidlo môžeme použiť LEN na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$!
$$\left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|=$$
$$-4\cdot 10\cdot 1+9\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot (-6)\cdot 9- \left[1\cdot 10\cdot 2+ (-1)\cdot 9\cdot (-4)+1\cdot 9\cdot (-6))\right]=$$
$$-40-18-54-20-36+54=-114$$
Sarussovo pravidlo sme použili na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$, ktorý vznikol ako jeden z medzikrokov pri použití rozvoja. Našim cieľom bolo vypočítať determinant z matice typu $4\times 4$.
Vrátime sa teda o krok späť:
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|= 5\cdot (-114)= -570$$