Determinanty - Príklad 2

Determinanty

Pri výpočte príkladu 2 budeme pracovať s niektorými z nasledujúcich vlastností determinantov:

Nech $A$ je štvorcová matica rádu $n\geq 2$.

• [V1.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ výmenou dvoch riadkov (stĺpcov), potom $\det{A} = -\det{B} $.
• [V2.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ násobením nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ konštantou $k$, potom $\det{B} = k \cdot \det{A} $.
• [V3.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) k nejakému riadku (stĺpcu) matice $A$, potom $\det{B} =\det{A} $.
• [V4.] Ak matica $A^T$ vznikla transponovaním matice $A$, potom $\det{A^T} = \det{A}$.
• [V5.] Ak všetky prvky nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ sú rovné $0$, potom $\det{A} = 0$.
• [V6.] Ak matica $A$ je trojuholníková, potom jej determinant je rovný súčinu prvkov na hlavnej uhlopriečke: $\det{A} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{nn}$.
• [V7.] Ak matice $A$ a $B$ sú obidve štvorcové rádu $n$, potom $\det{A} \cdot \det{B}= \det{A} \cdot \det{B} $.

Príklad 2

Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie:

Najprv vyriešime tento determinant pomocou úpravy na trojuholníkový tvar (šiesta vlastnosť)

$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right| \stackrel{=}{\text{V2}}
$$
$$
5 \cdot \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
2 & 2& -2&10\\
-1 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|\begin{array}{r}
\\
-2R1\\
+R1\\
\\
\end{array}\stackrel{=}{\text{V3}}
5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & -4& -6&2\\
0 &9& 10&9\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 2.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{V1}}
$$
$$
-5\cdot \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1&-1&1\\
0 & 9&10&9\\
0 &-4&-6&2\\
\end{array} \right|\begin{array}{r}
\\
\\
-9R2\\
4R2\\
\end{array} =
-5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1& -1&1\\
0 & 0& 19&0\\
0 & 0& -10&6\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{ V1}}
$$
$$

5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1& -1&1\\
0 &0& -10&6\\
0 & 0& 19&0\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. ståpca}}\stackrel{=}{\text{V1}}
-5 \cdot\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 4&2\\
0 & 1& 1&-1\\
0 & 0& 6&-10\\
0 & 0& 0&19\\
\end{array} \right|=-5\cdot 1\cdot 1 \cdot 6\cdot 19 =-570
$$