Determinanty - Príklad 2

Determinanty

Pri výpočte príkladu 2 budeme pracovať s niektorými z nasledujúcich vlastností determinantov:

Nech $A$ je štvorcová matica rádu $n\geq 2$.

• [V1.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ výmenou dvoch riadkov (stĺpcov), potom $\det{A} = -\det{B} $.
• [V2.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ násobením nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ konštantou $k$, potom $\det{B} = k \cdot \det{A}$.
• [V3.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) k nejakému riadku (stĺpcu) matice $A$, potom $\det{B} =\det{A}$.
• [V4.] Ak matica $A^T$ vznikla transponovaním matice $A$, potom $\det{A^T} = \det{A}$.
• [V5.] Ak všetky prvky nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ sú rovné $0$, potom $\det{A} = 0$.
• [V6.] Ak matica $A$ je trojuholníková, potom jej determinant je rovný súčinu prvkov na hlavnej uhlopriečke: $\det{A} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{nn}$.
• [V7.] Ak matice $A$ a $B$ sú obidve štvorcové rádu $n$, potom $\det{A} \cdot \det{B}= \det{A} \cdot \det{B}$.

Príklad 2

Vypočítajte determinant
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|$$

Riešenie:

Najprv vyriešime tento determinant pomocou úpravy na trojuholníkový tvar (šiesta vlastnosť)

$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right| \stackrel{=}{\text{V2}}$$
$$5 \cdot \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 2 & 2& -2&10\\ -1 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|\begin{array}{r} \\ -2R1\\ +R1\\ \\ \end{array}\stackrel{=}{\text{V3}} 5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & -4& -6&2\\ 0 &9& 10&9\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 2.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{V1}}$$
$$-5\cdot \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1&-1&1\\ 0 & 9&10&9\\ 0 &-4&-6&2\\ \end{array} \right|\begin{array}{r} \\ \\ -9R2\\ 4R2\\ \end{array} = -5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1& -1&1\\ 0 & 0& 19&0\\ 0 & 0& -10&6\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{ V1}}$$
$$5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1& -1&1\\ 0 &0& -10&6\\ 0 & 0& 19&0\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. ståpca}}\stackrel{=}{\text{V1}} -5 \cdot\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 4&2\\ 0 & 1& 1&-1\\ 0 & 0& 6&-10\\ 0 & 0& 0&19\\ \end{array} \right|=-5\cdot 1\cdot 1 \cdot 6\cdot 19 =-570$$