Matice, maticové mnohočleny - Príklad 9

Matice, maticové mnohočleny

Príklad 9

Vypočítajte $f(A)$, ak

$$f(x)=x^2-5x+3,\, \text{kde}\, A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1 &-1&0 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Maticové mnohočleny sú také mnohočleny (polynómy), kde namiesto premennej $x$ figuruje matica.

Prepíšeme zadaný mnohočlen pomocou matice $A$.
$$f(A)=A^2-5A^1+3A^0$$

Zo zápisu je vidieť, že s maticou $A$ uskutočníme nasledujúce operácie:
- umocniť maticu,
- vynásobiť matice reálnym číslom,
- sčítať vzniknuté matice.

Umocniť maticu, znamená vynásobiť navzájom dve identické matice. Pri takomto násobení sa zachováva typ matice. Umocňovať je možné iba štvorcové matice.
Keďže matica $A$ je štvorcová, môžeme ju umocniť:
$$A^2=A\cdot A= \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1 &-1&0 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1&-1&0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrr} 8 & 2 & 4\\ 11 &2&5\\ -1&0&-1 \end{array} \right)$$
Násobiť maticu $A$ číslom znamená, vynásobiť každý prvok tejto matice daným číslom.
$$-5\cdot A= -5\cdot \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1&-1&0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} -10 & -5 & -5\\ -15 &-5&-10\\ -5&5&0 \end{array} \right)$$
Matica umocnená na nultú je jednotková matica rovnakého typu ako matica $A$.

$$3\cdot A^0= 3\cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 &1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0\\ 0 &3&0\\ 0&0&3 \end{array} \right)$$
Posledným krokom je samotné sčítanie matíc.
Pripomíname, že sčítavať môžeme len matice rovnakého typu (čo je v našom prípade určite splnené, keďže všetky operácie sa vykonávali len s maticou $A$). Matice sčítavame tak, že sčítame prvky na rovnakých pozíciách.
$$f(A)=\left( \begin{array}{rrr} 8 & 2 & 4\\ 11 &2&5\\ -1&0&-1 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{rrr} -10&-5&-5\\ -15 &-5&-10\\ -5&5&0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 3&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{array} \right)=$$
$$\left( \begin{array}{rrr} 1&-3&-1\\ -4&0&-5\\ -6&5&2 \end{array} \right)$$