Matice, maticové mnohočleny - Príklad 9

Matice, maticové mnohočleny

Príklad 9

Vypočítajte $f(A)$, ak

$$
f(x)=x^2-5x+3,\, \text{kde}\, A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Maticové mnohočleny sú také mnohočleny (polynómy), kde namiesto premennej $x$ figuruje matica.

Prepíšeme zadaný mnohočlen pomocou matice $A$.
$$
f(A)=A^2-5A^1+3A^0
$$

Zo zápisu je vidieť, že s maticou $A$ uskutočníme nasledujúce operácie:
- umocniť maticu,
- vynásobiť matice reálnym číslom,
- sčítať vzniknuté matice.

Umocniť maticu, znamená vynásobiť navzájom dve identické matice. Pri takomto násobení sa zachováva typ matice. Umocňovať je možné iba štvorcové matice.
Keďže matica $A$ je štvorcová, môžeme ju umocniť:
$$
A^2=A\cdot A=
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right) \cdot
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)
$$
Násobiť maticu $A$ číslom znamená, vynásobiť každý prvok tejto matice daným číslom.
$$
-5\cdot A=
-5\cdot \left( \begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-10 & -5 & -5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)
$$
Matica umocnená na nultú je jednotková matica rovnakého typu ako matica $A$.

$$
3\cdot A^0=
3\cdot \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0\\
0 &1&0\\
0&0&1
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 0 & 0\\
0 &3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)
$$
Posledným krokom je samotné sčítanie matíc.
Pripomíname, že sčítavať môžeme len matice rovnakého typu (čo je v našom prípade určite splnené, keďže všetky operácie sa vykonávali len s maticou $A$). Matice sčítavame tak, že sčítame prvky na rovnakých pozíciách.
$$
f(A)=\left( \begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)+
\left( \begin{array}{rrr}
-10&-5&-5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)+
\left(\begin{array}{rrr}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)=
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1&-3&-1\\
-4&0&-5\\
-6&5&2
\end{array} \right)
$$