Inverzná matica - Príklad 2

Inverzná matica

Existuje viacero metód na hľadanie inverznej matice. V tomto príklade ukážeme metódu, v ktorej využívame blokovú maticu.
Blokovú maticu dostaneme tak, že na ľavú stanu bloku napíšeme maticu, ku ktorej hľadáme inverznú maticu a na pravú stranu bloku jednotkovú maticu rovnakého typu ako je pôvodná matica.
Cieľom je, pomocou ekvivalentných úprav získať na ľavej strane bloku jednotkovú maticu a matica, ktorá vznikne na pravej strane tohto bloku bude inverznou maticou k pôvodnej matici.

Pri ekvivalentných úpravách pracujeme s celým riadkom tohto bloku. Používame iba riadkové úpravy!

Inverzná matica existuje k matici $A$ práve vtedy, keď matica $A$. je regulárna t.j. $\det{A}\neq0$.

Príklad 2

Nájdite inverznú maticu k matici $B$, ak existuje.
$$B= \left( \begin{array}{rr|rr} 4 & 0\\ 9 &3\\ \end{array} \right)$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné zistiť, či k danej matici existuje inverzná matica. T.j. $\det{B}\neq0$. Ak je $\det{B}\neq0$, tak k matici $B$ existuje inverzná, ktorú budeme označovať $B^{-1}$.
$$\det{B}= \left|\begin{array}{rrrr} 4 & 0\\ 9 &3\\ \end{array} \right|=12\neq0$$
Teda existuje inverzná matica  $B^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice.
$$\left( \begin{array}{rr|rr} 4 & 0& 1&0\\ 9 &3&0&1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \cdot\frac{1}{4} \\ \cdot\frac{1}{3} \\ \end{array} \sim \left(\begin{array}{rr|rr} 1 & 0& \frac{1}{4}&0\\ 3 &1&0&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ -3R1\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & 0& \frac{1}{4}&0\\ 0 &1&-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right)$$
$$B^{-1}=\left( \begin{array}{rr}  \frac{1}{4}&0\\ -\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right)$$