Inverzná matica - Príklad 2

Inverzná matica

Existuje viacero metód na hľadanie inverznej matice. V tomto príklade ukážeme metódu, v ktorej využívame blokovú maticu.
Blokovú maticu dostaneme tak, že na ľavú stanu bloku napíšeme maticu, ku ktorej hľadáme inverznú maticu a na pravú stranu bloku jednotkovú maticu rovnakého typu ako je pôvodná matica.
Cieľom je, pomocou ekvivalentných úprav získať na ľavej strane bloku jednotkovú maticu a matica, ktorá vznikne na pravej strane tohto bloku bude inverznou maticou k pôvodnej matici.

Pri ekvivalentných úpravách pracujeme s celým riadkom tohto bloku. Používame iba riadkové úpravy!

Inverzná matica existuje k matici $A$ práve vtedy, keď matica $A$. je regulárna t.j. $\det{A}\neq0$.

Príklad 2

Nájdite inverznú maticu k matici $B$, ak existuje.
$$
B=
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné zistiť, či k danej matici existuje inverzná matica. T.j. $\det{B}\neq0$. Ak je $\det{B}\neq0$, tak k matici $B$ existuje inverzná, ktorú budeme označovať $B^{-1}$.
$$
\det{B}=
\left|\begin{array}{rrrr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right|=12\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $B^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice.
$$
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0& 1&0\\
9 &3&0&1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{4} \\
\cdot\frac{1}{3} \\
\end{array}
\sim
\left(\begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
3 &1&0&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
-3R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
0 &1&-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$
$$
B^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
 \frac{1}{4}&0\\
-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$