Priebeh funkcie - Príklad 2

 Priebeh funkcie 

Príklad 2

Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nekreslite jej graf.

$$f: y=\frac{2x^3}{x^2-1}$$

Riešenie:

I. Z predpisu funkcie určujeme:

• 1. definičný obor funkcie,
• 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
• 3. priesečníky so súradnicovými osami,
• 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice

1. definičný obor funkcie

Menovateľ výrazu musí byť rôzny od nuly
$$x^2-1\neq 0$$
Najprv zistíme, pre ktoré hodnoty premennej $x$ sa výraz $x^2-1$ rovná nule.
$$x^2-1=0$$
Napíšeme tento výraz v tvare súčinu. Využijeme vzťah: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$$(x-1)(x+1)=0$$
Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak jeden z činiteľov je rovný nule.
Teda : $x=1$ alebo $x=-1$.
Definičným oborom funkcie $f$ je celá množina reálnych čísel okrem čísel $1$ a $-1$ t.j.: 
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;\infty)$$

2. párnosť, nepárnosť funkcie

Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.

Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=-f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.

Overme, čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$f(-x)= \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-1}=\frac{-2(x)^3}{(x)^2-1}=-\frac{2x^3}{x^2-1}=-f(x)$$
Keďže definičný obor funkcie je symetrický a funkčná hodnota v bode $-x$ je rovná mínus funkčnej hodnote v bode $x$, je funkcia $f$ nepárna.

3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$

Priesečník s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).

Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$0= \frac{2x^3}{x^2-1}$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak je čitateľ rovný nule t.j., ak
$$\begin{eqnarray*} 0&=& 2x^3\\ 0&=& x\\ \end{eqnarray*}$$

Priesečník s osou $x$ je teda bod so súradnicami $[0,0]$. Priesečník s osou $y$ má súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu $f(0)$ získame dosadením $x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$f(0)= \frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$
Vidíme, že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$), pričom iné priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.

4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice

Priamku, ktorá má rovnicu $x=a$, nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie $f$, ak funkcia $f$ má v čísle $a$ nevlastnú limitu alebo nevlastnú limitu sprava alebo zľava.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty$$

Funkcia $f$ má asymptoty bez smernice, ktorých rovnice sú: $x=-1$ a $x=1$.

Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: $y_1=k_1\cdot x + q_1$ a $y_2=k_2\cdot x + q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$ sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$$
$$q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)$$
$$k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}$$
$$q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)$$
$$k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2$$
$$q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2-1}=0$$
V plus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_1=2x$
$$k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2$$
$$q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-1}=0$$
V mínus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_2=2x$

II. Z prvej derivácia funkcie určujeme

• 5. stacionárne body,
• 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
• 7. extrémy funkcie.

$$f(x)=\frac{2x^3}{x^2-1}$$
Túto funkciu derivujeme ako podiel dvoch funkcií
$$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3)^{\prime}\cdot(x^2-1)-(2x^3)\cdot(x^2-1)^{\prime}}{(x^2-1)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{6x^2\cdot(x^2-1)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}$$

5. stacionárne body

Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}=0$$
$$2x^4-6x^2=0$$
iba čitateľ môže byť rovný nule
$$2x^2(x^2-3)=0=0$$
$$2x^2=0\, \text{alebo}\, x^2-3=0$$
$$x=0\, \text{alebo}\, x=\pm\sqrt{3}$$

Funkcia má tri stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ově súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.



$$f(0)=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$
$$f(\sqrt{3})=\frac{2\cdot \sqrt{3}^3}{\sqrt{3}^2-1}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{2\cdot (-\sqrt{3})^3}{(-\sqrt{3})^2-1}$$

6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)

Funkcia je rastúca (klesajúca)  práve vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime}(x)> 0 \ (f^{\prime}(x)<0)$.
$$\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}>0$$

Funkcia $(x^2-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Keďže podiel má byť kladný, musí platiť:
$$2x^4-6x^2>0$$
$$2x^2(x^2-3)>0$$
Keďže funkcia $2x^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$, aby bol daný súčin kladný, postačuje aby funkcia $x^2-3$ bola kladná.
$$x^2-3>0$$
Tento výraz prepíšeme na súčin dvoch výrazov s použitím vzťahu: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$$\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0$$
Čísla $\sqrt{3}$ a $-\sqrt{3}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na nasledujúce intervaly: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $\left(-\sqrt{3}, -1\right)$, $\left(-1, 1\right)$,$\left(1;\sqrt{3}\right)$, $\left(\sqrt{3}, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

Ďalej je potrebné určiť intervaly, na ktorých funkcia $f$ klesá, teda je potrebné určiť intervaly, kde
$$\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}<0$$
Keďže výraz $\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Výraz bude záporny vtedy, keď $x^2-3<0$. Vidieť, že výraz $x^2-3<0$ je záporný, ak $x\in \left(-\sqrt{3}, -1\right)\cup\left(-1, 1\right)\cup\left(1;\sqrt{3}\right)$.

7. Lokálne extrémy funkcie

Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $-\sqrt{3}$ (lokálne maximum) a v čísle $\sqrt{3}$ (lokálne minimum).

III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:

• 8. intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
• 9. inflexné body funkcie

$$f^{\prime\prime}(x)= (f^{\prime}(x))^{\prime}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \left(\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}\right)^{\prime}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \frac{(2x^4-6x^2)^{\prime}(x^2-1)^2-(2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)^\prime}{(x^2-1)^4}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \frac{4x^3+12x}{(x^2-1)^3}=\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$

8. Intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná

Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}>0$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ kladný.
Podiel je kladný, ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$) , alebo ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-1;0)\cup(1;\infty)$$

Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}<0$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ záporný.
Podiel je záporný, ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$), alebo ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konkávna,ak
$$x\in (-\infty;-1)\cup(0;1)$$

9. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod, v ktorom funkcia mení priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$f^{\prime\prime}(x)= 0$$
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0$$
$$4x(x^2+3)=0$$
Ak $x=0$, tak $4x(x^2+3)=0$.  Výraz $x^2+3$ nenadobudne hodnotu nula pre žiadne číslo definičného oboru funkcie.

Týmto postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$.

$$f: y=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$



10. Graf funkcie