Priebeh funkcie
Príklad 2
Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nekreslite jej graf.
$$
f: y=\frac{2x^3}{x^2-1}
$$
Riešenie:
I. Z predpisu funkcie určujeme:- 1. definičný obor funkcie,
- 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
- 3. priesečníky so súradnicovými osami,
- 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice
1. definičný obor funkcie
Menovateľ výrazu musí byť rôzny od nuly
$$
x^2-1\neq 0
$$
Najprv zistíme, pre ktoré hodnoty premennej $x$ sa výraz $x^2-1$ rovná nule.
$$
x^2-1=0
$$
Napíšeme tento výraz v tvare súčinu. Využijeme vzťah: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$$
(x-1)(x+1)=0
$$
Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak jeden z činiteľov je rovný nule.
Teda : $x=1$ alebo $x=-1$.
Definičným oborom funkcie $f$ je celá množina reálnych čísel okrem čísel $1$ a $-1$ t.j.:
$$
D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;\infty)
$$
2. párnosť, nepárnosť funkcie
Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:
- ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
- $f(-x)=f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.
Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:
- ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
- $f(-x)=-f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.
Overme, čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$
f(-x)= \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-1}=\frac{-2(x)^3}{(x)^2-1}=-\frac{2x^3}{x^2-1}=-f(x)
$$
Keďže definičný obor funkcie je symetrický a funkčná hodnota v bode $-x$ je rovná mínus funkčnej hodnote v bode $x$, je funkcia $f$ nepárna.
3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$
Priesečník s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).
Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$
0= \frac{2x^3}{x^2-1}
$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak je čitateľ rovný nule t.j., ak
\begin{eqnarray*}
0&=& 2x^3\\
0&=& x\\
\end{eqnarray*}
Priesečník s osou $x$ je teda bod so súradnicami $[0,0]$. Priesečník s osou $y$ má súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu $f(0)$ získame dosadením $x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$
f(0)= \frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$
Vidíme, že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$), pričom iné priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.
4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice
Priamku, ktorá má rovnicu $x=a$, nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie $f$, ak funkcia $f$ má v čísle $a$ nevlastnú limitu alebo nevlastnú limitu sprava alebo zľava.
$$
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow -1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty
$$
Funkcia $f$ má asymptoty bez smernice, ktorých rovnice sú: $x=-1$ a $x=1$.
Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: $y_1=k_1\cdot x + q_1$ a $y_2=k_2\cdot x + q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$ sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
$$
$$
q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)
$$
$$
k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}
$$
$$
q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)
$$
$$
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2
$$
$$
q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2-1}=0
$$
V plus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_1=2x$
$$
k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2
$$
$$
q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-1}=0
$$
V mínus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_2=2x$
II. Z prvej derivácia funkcie určujeme
- 5. stacionárne body,
- 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
- 7. extrémy funkcie.
Túto funkciu derivujeme ako podiel dvoch funkcií
$$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3)^{\prime}\cdot(x^2-1)-(2x^3)\cdot(x^2-1)^{\prime}}{(x^2-1)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{6x^2\cdot(x^2-1)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}$$
5. stacionárne body
Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$
\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}=0
$$
$$
2x^4-6x^2=0
$$
iba čitateľ môže byť rovný nule
$$
2x^2(x^2-3)=0=0
$$
$$
2x^2=0\, \text{alebo}\, x^2-3=0
$$
$$
x=0\, \text{alebo}\, x=\pm\sqrt{3}
$$
Funkcia má tri stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ově súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$ za $x$ dosadíme číslo $0$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.
$$
f(0)=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$
$$
f(\sqrt{3})=\frac{2\cdot \sqrt{3}^3}{\sqrt{3}^2-1}
$$
$$
f(-\sqrt{3})=\frac{2\cdot (-\sqrt{3})^3}{(-\sqrt{3})^2-1}
$$
6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)
Funkcia je rastúca (klesajúca) práve vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime}(x)> 0 \ (f^{\prime}(x)<0)$.
$$
\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}>0
$$
Funkcia $ (x^2-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Keďže podiel má byť kladný, musí platiť:
$$
2x^4-6x^2>0
$$
$$
2x^2(x^2-3)>0
$$
Keďže funkcia $2x^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$, aby bol daný súčin kladný, postačuje aby funkcia $x^2-3$ bola kladná.
$$
x^2-3>0
$$
Tento výraz prepíšeme na súčin dvoch výrazov s použitím vzťahu: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$$
\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0
$$
Čísla $ \sqrt{3}$ a $ -\sqrt{3}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na nasledujúce intervaly: $ (-\infty, -\sqrt{3})$, $ \left(-\sqrt{3}, -1\right)$, $ \left(-1, 1\right)$,$ \left(1;\sqrt{3}\right)$, $\left(\sqrt{3}, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.
Ďalej je potrebné určiť intervaly, na ktorých funkcia $f$ klesá, teda je potrebné určiť intervaly, kde
$$
\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}<0
$$
Keďže výraz $\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Výraz bude záporny vtedy, keď $x^2-3<0$. Vidieť, že výraz $ x^2-3<0$ je záporný, ak $x\in \left(-\sqrt{3}, -1\right)\cup\left(-1, 1\right)\cup\left(1;\sqrt{3}\right)$.
7. Lokálne extrémy funkcie
Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $-\sqrt{3}$ (lokálne maximum) a v čísle $\sqrt{3}$ (lokálne minimum).
III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:
- 8. intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
- 9. inflexné body funkcie
f^{\prime\prime}(x)= (f^{\prime}(x))^{\prime}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \left(\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}\right)^{\prime}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \frac{(2x^4-6x^2)^{\prime}(x^2-1)^2-(2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)^\prime}{(x^2-1)^4}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \frac{4x^3+12x}{(x^2-1)^3}=\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}
$$
8. Intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná
Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}>0
$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ kladný.
Podiel je kladný, ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$) , alebo ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak $x\in(-1;1)$).
Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-1;0)\cup(1;\infty)$$
Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}<0
$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ záporný.
Podiel je záporný, ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$), alebo ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak $x\in(-1;1)$).
Funkcia je konkávna,ak
$$x\in (-\infty;-1)\cup(0;1)$$
9. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod, v ktorom funkcia mení priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$
f^{\prime\prime}(x)= 0
$$
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0
$$
$$
4x(x^2+3)=0
$$
Ak $x=0$, tak $4x(x^2+3)=0$. Výraz $x^2+3$ nenadobudne hodnotu nula pre žiadne číslo definičného oboru funkcie.
Týmto postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$ za $x$ dosadíme číslo $0$.
$$
f: y=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$
10. Graf funkcie
Žiadne komentáre:
Zverejnenie komentára