Derivácia funkcie

Úloha 4. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}.$$

Riešenie:
 Najprv upravíme funkciu na jednoduchší tvar:
$$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}= x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot x^{-2}}{x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}= x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^2\cdot x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}=$$
$$x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{2+4+\frac{2}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{20}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{5}{4}-\frac{20}{3}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}.$$

Derivujeme funkciu
$$f^{\prime}(x)=\left(x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}\right)^{\prime}=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{65}{12}x^{-\frac{77}{12}}.$$