Matice, hodnosť matíc - Príklad 8

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 8

 

Určte hodnosť matice $C$, kde $p\in \mathbb{R}$ je parameter:
$$
C=\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Hodnosť matice $C$ je maximálne $3$. Pomocou ekvivalentných úprav (úpravy E1 až E4) upravíme maticu $C$ na trojuholníkový tvar.
$$
\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$
Prvou úpravou je výmena stĺpcov: tretí stĺpec zameníme za prvý (úprava E1).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
$$
Ďalšou úpravou je pripočítanie vhodného násoboku prvého riadku matice k druhému a následne tretiemu riadku tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprava E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-15R1\\
+3R1
\end{array}
$$
Následne tretí riadok matice vynásobíme reálnym číslom (úprava E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & -4 & 10
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
\cdot 4
\end{array}
$$
Poslednou úpravou je pripočítanie druhého riadku k tretiemu riadku (úprava E3). 
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 &-16 & 40 \end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
+R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Diskusia:
Ak $p-5=0$ (a teda ak $p=5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $2$.
Teda:
Ak $p= 5$, tak hodnosť matice $C$ je $2$ (zapisujeme $rank(C)=2$).

Ak $p-5\neq 0$ (a teda ak $p\neq 5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $3$.
Ak $p\neq 5$, tak hodnosť matice $C$ je $3$ (zapisujeme $rank(C)=3$).