Matice, hodnosť matíc - Príklad 8

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 8

 

Určte hodnosť matice $C$, kde $p\in \mathbb{R}$ je parameter:
$$C=\left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ p & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Hodnosť matice $C$ je maximálne $3$. Pomocou ekvivalentných úprav (úpravy E1 až E4) upravíme maticu $C$ na trojuholníkový tvar.
$$\left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ p & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right)$$
Prvou úpravou je výmena stĺpcov: tretí stĺpec zameníme za prvý (úprava E1).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 15 & -14 & p \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right)$$
Ďalšou úpravou je pripočítanie vhodného násoboku prvého riadku matice k druhému a následne tretiemu riadku tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprava E3).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 15 & -14 & p \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ -15R1\\ +3R1 \end{array}$$
Následne tretí riadok matice vynásobíme reálnym číslom (úprava E2).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & -4 & 10 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \cdot 4 \end{array}$$
Poslednou úpravou je pripočítanie druhého riadku k tretiemu riadku (úprava E3). 
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 &-16 & 40 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ +R2 \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & p-5 \end{array} \right)$$
Diskusia:
Ak $p-5=0$ (a teda ak $p=5$), tak matica má tvar:
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $2$.
Teda:
Ak $p= 5$, tak hodnosť matice $C$ je $2$ (zapisujeme $rank(C)=2$).

Ak $p-5\neq 0$ (a teda ak $p\neq 5$), tak matica má tvar:
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & p-5 \end{array} \right)$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $3$.
Ak $p\neq 5$, tak hodnosť matice $C$ je $3$ (zapisujeme $rank(C)=3$).