Definičný obor funkcie - Príklad 4

Definičný obor funkcie

Príklad 4

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f: y=\log(16-x^2)$$

Riešenie

Argument logaritmu musí byť kladné číslo.
$$16-x^2>0$$
Keďže $16-x^2=(x+4)(x-4)$, môžeme použiť metódu nulových bodov alebo grafické riešenie. Výraz $16-x^2$ môže meniť znamienko iba v čísle $x=-4$ alebo $x=4$.

Parabola $f: y=16-x^2$ má konkávny priebeh. (Podrobnejšie vysvetlenie riešenia kvadratickej rovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4).

Definičný obor funkcie $f$ je interval: $D(f)= \left(-4;4\right)$.

Ďalšou možnosťou riešenia tejto nerovnice je priame využitie vlastností absolútnej hodnoty.
$$-x^2>-16$$
Ekvivalentnými úpravami vyjadríme $x^2$.
$$x^2<16$$
$$|x|^2<16$$
Vieme, že platí: $x^2=|x|^2$.
$$|x|<4$$
Využili sme, že platí nasledujúci vzťah:
Ak $a,b\geq 0$, tak $a^2\leq b^2 \Leftrightarrow a\leq b$.

Nerovnicu $|x|<4$ vyriešime graficky na číselnej osi (jednorozmerný súradnicový systém). Keďže $|x|$ predstavuje vzdialenosť čísla $x$ od začiatku súradnicového systému, zápis $|x|<4$ znamená, že vzdialenosť $x$ od nuly má byť menšia ako štyri.
Do intervalu $\left(-4;4\right)$ patria také čísla, ktorých absolútna hodnota je menšia ako $\sqrt{16}=4$.