Inverzná matica - Príklad 1

Inverzná matica

 

Príklad 1

Nájdite inverznú maticu k matici $A$ pomocou adjugovanej matice.

$$A= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Inverznú maticu hľadáme pomocou pridruženej (adjungovanej) matice:
$$A^*=\left( \begin{array}{rrr} A_{11} & A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22}&A_{32} \\ A_{13} &A_{23}&A_{33}  \end{array} \right)$$
s využitím vzťahu:
$$A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*$$

Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$\det{(A)}= \left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right|=5$$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant z matice $M_{ij}$.
Matica  $M_{ij}$ je matica, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.

Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$A_{11}=(-1)^{1+1} \left| \begin{array}{rrr} -1&0\\ 4&1 \end{array} \right|=-1$$

Algebrický doplnok $A_{12}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a druhého stĺpca.
$$A_{12}= (-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rrr} 1 &0\\ -1 &1 \end{array} \right|=-1$$
Podobne vypočítame algebrické doplnky prislúchajúce ostatným indexom.  
$$A_{13}= (-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rrr} 1 &-1\\ -1 &4 \end{array} \right|=3$$
$$A_{21}= (-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ 4&1 \end{array} \right|=10$$
$$A_{22}= (-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr} 2&3\\ -1&1 \end{array} \right|=5$$
$$A_{23}= (-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 \\ -1 &4 \end{array} \right|=-10$$
$$A_{31}= (-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ -1&0\\ \end{array} \right|=3$$
$$A_{32}= (-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ 1 &0\\ \end{array} \right|=3$$
$$A_{33}= (-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2\\ 1 &-1\\ \end{array} \right|=-4$$
Adjungovaná matica $A^*$ má tvar
$$A^*=\left( \begin{array}{rrr} -1 &10 &3 \\ -1 &5&3 \\ 3 &-10&-4  \end{array} \right)$$

Inverzná matica k matici $A$ je:
$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{rrr} -1 &10 &3 \\ -1 &5&3 \\ 3 &-10&-4  \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} -\frac{1}{5} &2 &\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$