Inverzná matica - Príklad 1

Inverzná matica

 

Príklad 1

Nájdite inverznú maticu k matici $A$ pomocou adjugovanej matice.

$$
A=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Inverznú maticu hľadáme pomocou pridruženej (adjungovanej) matice:
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
A_{11} & A_{21} &A_{31} \\
A_{12} &A_{22}&A_{32} \\
A_{13} &A_{23}&A_{33} 
\end{array} \right)
$$
s využitím vzťahu:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*
$$

Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$
\det{(A)}=
\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5
$$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant z matice $M_{ij}$.
Matica  $M_{ij}$ je matica, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.

Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$
A_{11}=(-1)^{1+1}
\left| \begin{array}{rrr}
-1&0\\
4&1
\end{array} \right|=-1
$$

Algebrický doplnok $A_{12}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a druhého stĺpca.
$$
A_{12}=
(-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rrr}
1 &0\\
-1 &1
\end{array} \right|=-1
$$
Podobne vypočítame algebrické doplnky prislúchajúce ostatným indexom.  
$$
A_{13}=
(-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rrr}
1 &-1\\
-1 &4
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{21}=
(-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
4&1
\end{array} \right|=10
$$
$$
A_{22}=
(-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr}
2&3\\
-1&1
\end{array} \right|=5
$$
$$
A_{23}=
(-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 \\
-1 &4
\end{array} \right|=-10
$$
$$
A_{31}=
(-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
-1&0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{32}=
(-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
1 &0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{33}=
(-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2\\
1 &-1\\
\end{array} \right|=-4
$$
Adjungovaná matica $A^*$ má tvar
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica k matici $A$ je:
$$
A^{-1}=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} &2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$