Definičný obor funkcie - Príklad 2

Definičný obor funkcie

Príklad 2

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$f: y=\ln(x^2-4x+3)$$

Riešenie

Argument logaritmu (v našom prípade ide o prirodzený logaritmus) musí byť ostro väčší ako nula.
$$x^2-4x+3 > 0$$
Ponúkame grafické riešenie kvadratickej nerovnice. (Iné riešenie kvadratickej nerovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4.)
$$x^2-4x+3 > 0$$

Funkcia  $f$ má dva priesečníky s osou $x$. Priesečník s osou $x$ má tvar $P=[x;0]$.
Priesečníky vypočítame z rovnice $x^2-4x+3= 0$. Riešením kvadratickej rovnice sú korene: $1$ a $3$.
Parabola, ktorá je grafom funkcie $f$ bude pretínať os $x$ práve v dvoch bodoch $[1; 0]$ a $[3;0]$. Keďže koeficient pri $x^2$ je kladné číslo, bude mať parabola konvexný tvar (ako písmeno U).
Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: $x^2-4x+3 > 0$. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi $y$) majú byť väčšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď $x\in(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
Definičný obor funkcie je interval: $$D(f)=  (-\infty, 1) \cup (3, \infty).$$