Sústavy lineárnych rovníc - Príklad 1

Sústavy lineárnych rovníc

Riešiť sústavu lineálnych rovníc znamená, hľadať usporiadanú $n$-ticu, ktorá vyhovuje každej zo zadaných rovníc.

Sústava môže mať:

• jediné riešenie v tvare usporiadanej $n$-tice, 
• nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej $n$-tice,
• alebo žiadne riešenie.

Gaussová eliminačná metóda
Riešeniu rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy predchádza prepis sústavy rovníc do tvaru rozšírenej matice. Princíp tejto metódy spočíva v úprave matice na trojuholníkovú resp. lichobežníkovú maticu prostredníctvom ekvivalentných úprav. Pomocou týchto úprav dostávame z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc novú sústavu, ktorej množina riešení je rovnaká. 

Za ekvivalentné úpravy rovníc [EUR] považujeme nasledujúce:

• [EUR1] výmena poradia rovníc v sústave,
• [EUR2] vynásobenie ľubovoľnej rovnice nenulovou konštantou,
• [EUR3] pripočítanie $k$-násobku jednej rovnice k inej rovnici. 

Príklad 1

 Riešte sústavu lineárnych rovníc v $\mathbb{R}$ (v množine reálnych čísel).
 $$
\begin{eqnarray*}
2x_1+2x_2+ 3x_3&=&1\\
x_1-x_2&=&0\\
-x_1+4x_2+x_3&=&0\\
\end{eqnarray*}
$$

Riešenie

Rovnicu prepíšeme do maticového tvaru. Rozšírenú maticu sústavy lineárnych rovníc upravujeme na trojuholníkový (resp. lichobežníkový) tvar.

$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
2&2&3&1 \\
1&-1&0&0 \\
-1&4&1&0 \\
\end{array} \right)
$$
Najprv vymeníme prvý a druhý riadok matice (EUR1).
$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
1&-1&0&0 \\
2&2&3&1 \\
-1&4&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
-2R1\\
+R1\\
\end{array}
$$
K druhému riadku pripočítame mínus dvojnásobok prvého riadku a k tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (EUR3).
$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
1&-1&0&0 \\
0&4&3&1 \\
0&3&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\frac{1}{4}\\
\\
\end{array}
$$
Druhý riadok matice vynásobíme nenulovou konštantou (EUR2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&-1&0&0 \\
0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\
0&3&1&0 \\
\end{array}\right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
-3R2\\
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&-1&0&0 \\
0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\
0&0&-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4} \\
\end{array} \right)
$$
Prepíšeme poslednú maticu do systému lineárnych rovníc:
$$
\begin{eqnarray}
x_1-x_2&=&0\\
x_2+\frac{3}{4}x_3&=&\frac{1}{4}\\
-\frac{5}{4}x_3&=&-\frac{3}{4}
\end{eqnarray}
$$
Táto sústava lineárnych rovníc vznikla z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc len použitím ekvivalentných úprav. Riešenie tejto sústavy bude teda rovnaké ako riešenie pôvodnej sústavy lineárnych rovníc.

Z tretej rovnice dostávame
$$\begin{eqnarray*}
x_3&=&\frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Dosadením známej hodnoty za premennú $x_3$ do druhej rovnice, dostávame $x_2$:
$$\begin{eqnarray*}
x_2&=&-\frac{1}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Podobne dosadením známych hodnôt za premenné $x_2$ a $x_3$ do prvej rovnice, dostávame  $x_1$:
$$\begin{eqnarray*}
x_1&=&-\frac{1}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc je jediná usporiadaná trojica: $\left[-\frac{1}{5};-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right]$.