Sústavy lineárnych rovníc - Príklad 1

Sústavy lineárnych rovníc

Riešiť sústavu lineálnych rovníc znamená, hľadať usporiadanú $n$-ticu, ktorá vyhovuje každej zo zadaných rovníc.

Sústava môže mať:

• jediné riešenie v tvare usporiadanej $n$-tice, 
• nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej $n$-tice,
• alebo žiadne riešenie.

Gaussová eliminačná metóda
Riešeniu rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy predchádza prepis sústavy rovníc do tvaru rozšírenej matice. Princíp tejto metódy spočíva v úprave matice na trojuholníkovú resp. lichobežníkovú maticu prostredníctvom ekvivalentných úprav. Pomocou týchto úprav dostávame z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc novú sústavu, ktorej množina riešení je rovnaká. 

Za ekvivalentné úpravy rovníc [EUR] považujeme nasledujúce:

• [EUR1] výmena poradia rovníc v sústave,
• [EUR2] vynásobenie ľubovoľnej rovnice nenulovou konštantou,
• [EUR3] pripočítanie $k$-násobku jednej rovnice k inej rovnici. 

Príklad 1

 Riešte sústavu lineárnych rovníc v $\mathbb{R}$ (v množine reálnych čísel).
  $$\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+ 3x_3&=&1\\ x_1-x_2&=&0\\ -x_1+4x_2+x_3&=&0\\ \end{eqnarray*}$$

Riešenie

Rovnicu prepíšeme do maticového tvaru. Rozšírenú maticu sústavy lineárnych rovníc upravujeme na trojuholníkový (resp. lichobežníkový) tvar.

$$\left( \begin{array}{rrl|r} 2&2&3&1 \\ 1&-1&0&0 \\ -1&4&1&0 \\ \end{array} \right)$$
Najprv vymeníme prvý a druhý riadok matice (EUR1).
$$\left( \begin{array}{rrl|r} 1&-1&0&0 \\ 2&2&3&1 \\ -1&4&1&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ -2R1\\ +R1\\ \end{array}$$
K druhému riadku pripočítame mínus dvojnásobok prvého riadku a k tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (EUR3).
$$\left( \begin{array}{rrl|r} 1&-1&0&0 \\ 0&4&3&1 \\ 0&3&1&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \frac{1}{4}\\ \\ \end{array}$$
Druhý riadok matice vynásobíme nenulovou konštantou (EUR2).
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&-1&0&0 \\ 0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\ 0&3&1&0 \\ \end{array}\right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ -3R2\\ \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&-1&0&0 \\ 0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\ 0&0&-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4} \\ \end{array} \right)$$
Prepíšeme poslednú maticu do systému lineárnych rovníc:
$$\begin{eqnarray} x_1-x_2&=&0\\ x_2+\frac{3}{4}x_3&=&\frac{1}{4}\\ -\frac{5}{4}x_3&=&-\frac{3}{4} \end{eqnarray}$$
Táto sústava lineárnych rovníc vznikla z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc len použitím ekvivalentných úprav. Riešenie tejto sústavy bude teda rovnaké ako riešenie pôvodnej sústavy lineárnych rovníc.

Z tretej rovnice dostávame
$$\begin{eqnarray*} x_3&=&\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$$
Dosadením známej hodnoty za premennú $x_3$ do druhej rovnice, dostávame $x_2$:
$$\begin{eqnarray*} x_2&=&-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$$
Podobne dosadením známych hodnôt za premenné $x_2$ a $x_3$ do prvej rovnice, dostávame  $x_1$:
$$\begin{eqnarray*} x_1&=&-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc je jediná usporiadaná trojica: $\left[-\frac{1}{5};-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right]$.