Derivácia funkcie
Príklad 7
Vypočítajte druhú deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y=x\cdot\tan{3x}$$
Riešenie:
$$y^{\prime}=\left(x\cdot\tan 3x\right)^{\prime}$$Túto funkciu derivujeme ako súčin:
$$y^{\prime}=\left(x\right)^{\prime}\tan 3x+x\left(\tan 3x\right)^{\prime}=$$
$$\tan{3x}+x\cdot\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3=\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}$$
Druhú deriváciu vypočítame tak, že znova zderivujeme výraz:
$$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}$$
derivujeme ako súčet:
$$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}\right)^{\prime}+\left(\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}=$$
$$\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3+\frac{3\cos^2{3x}-3x\cdot 3\cos{3x}\left(-\sin{3x}\right)\cdot 3}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos^2{3x}+27x\cdot\cos{3x}\cdot \sin{3x}}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos{3x}(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^4{3x}}=\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^3{3x}}$$
Dobry den chcem sa opytat ci v prvej derivacii tejto funkcie, by nemalo 3x byt iba v citateli.. Dakujem
OdpovedaťOdstrániťTento komentár bol odstránený autorom.
OdstrániťFunkciu $\tan{x}$ derivujeme podľa základného vzorca:
Odstrániť$(\tan{x})^{\prime}=\frac{1}{\cos^2{x} }$.
Keďže derivovaná funkcia
$\tan(3x)$ je zložená, pričom vnútorná zložka tejto funkcie je $3x$, derivácia funkcie $\tan(3x)$ je $(\tan{3x})^{\prime}=\frac{3x}{\cos^2{3x} }$.
chcem sa opytat ci nie je chyba pri derivacii funkcie (cos 3x)^2 : namiesto 3 by malo byt 2
OdpovedaťOdstrániť