Definičný obor funkcie - Príklad 3

Definičný obor funkcie

Príklad 3

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$
f: y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\log(x+5)
$$

Riešenie: 

Musia byť splnené nasledujúce podmienky: Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule, výraz v menovateli je rôzny od nuly a argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula. Tieto podmienky musia platiť súčasne.
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0  \wedge x+1\neq 0  \wedge  x+5>0
$$
Môžeme stručne písať
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0 \wedge x+5>0
$$
pričom podmienku $ x+1\neq 0$ zohľadníme pri riešení prvej z nerovníc.

Je  viacero metód ako riešiť nerovnicu:
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0
$$
Ukážeme metódu nulových bodov. Nulovým bodom výrazu budeme nazýva také číslo, v ktorom výraz nadobúda hodnotu nula.
Vidíme, že čitateľ môže zmeniť znamienko iba v čísle $1$ a menovateľ iba v čísle $-1$, teda celý zlomok môže zmeniť znamienko iba v niektorom z týchto dvoch čísel.
Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri intervaly $(-\infty, -1), (-1, 1\rangle, \langle1, \infty)$, v ktorých vyšetríme znamienko podielu.

• V intervale $(-\infty, -1)$ je čitateľ záporný  a aj menovateľ záporný.
• V intervale $(-1, 1\rangle$ je čitateľ záporný a menovateľ kladný.
• V intervale $ \langle1, \infty)$ je čitateľ kladný a aj menovateľ kladný.

Podiel je kladný vtedy a len vtedy, ak čitateľ aj menovateľ sú kladné čísla, alebo ak čitateľ a menovateľ sú záporné čísla.
Podmienke $\frac{x-1}{x+1}\geq 0$ vyhovujú intervaly: $x\in (-\infty, -1)$ a $\langle1, \infty)$.

Druhá podmienka:
$$
x+5>0
$$
$$
x>-5
$$
Tejto podmienke vyhovuje interval : $x\in (-5, \infty)$.

Výsledným definičným oborom funkcie $f$ je prienik množín tých reálnych čísel, ktoré vyhovujú podmienkam $ \frac{x-1}{x+1}\geq 0$ a $ x+5>0$
A teda $$ D(f)= (-5, -1) \cup \langle1, \infty).$$