Derivácia funkcie - Príklad 2

Derivácia funkcie

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y=x^3-7x^2+5x-3$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(x^3-7x^2+5x-3\right)^{\prime}=$$
$$(x^3)^{\prime}-(7x^2)^{\prime}+(5x)^{\prime}-3^{\prime}= 3x^2-14x+5$$

Derivácia funkcie - Príklad 5

 Derivácia funkcie

Príklad 5

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.

$$y= e^x \cdot \cos{x}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left( e^x \cdot \cos{x}\right)^{\prime}=$$
$$(e^x)^{\prime}\cos{x}+e^x\cdot(\cos{x})^{\prime}=
e^x\cdot\cos{x}+e^x\cdot(-\sin{x})=
e^x(\cos{x}-\sin{x})$$

Derivácia funkcie - Príklad 6

Derivácia funkcie

Príklad 6

 

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.

$$y= \sqrt{x^2-8x+3}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}= \sqrt{x^2-8x+3}=\left[(x^2-8x+3)^{1/2}\right]^{\prime}$$
$$\frac{1}{2}\left(x^2-8x+3\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(x^2-8x+3\right)^{\prime}=$$
$$\frac{1}{2}\left(x^2-8x+3\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(2x-8\right)=
\frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x+3}}=
\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+3}}$$

Derivácia funkcie - Príklad 7

Derivácia funkcie

Príklad 7

 

Vypočítajte druhú deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y=x\cdot\tan{3x}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(x\cdot\tan 3x\right)^{\prime}$$
Túto funkciu derivujeme ako súčin:
$$y^{\prime}=\left(x\right)^{\prime}\tan 3x+x\left(\tan 3x\right)^{\prime}=$$
$$\tan{3x}+x\cdot\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3=\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}$$
Druhú deriváciu vypočítame tak, že znova zderivujeme výraz:
$$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}$$
derivujeme ako súčet:
 $$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}\right)^{\prime}+\left(\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}=$$
$$\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3+\frac{3\cos^2{3x}-3x\cdot 3\cos{3x}\left(-\sin{3x}\right)\cdot 3}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos^2{3x}+27x\cdot\cos{3x}\cdot \sin{3x}}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos{3x}(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^4{3x}}=\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^3{3x}}$$

Derivácia funkcie

Derivácia funkcie

 

Všeobecné pravidlá derivovania funkcií

 

1. $[c\cdot f(x)]^{\prime}=c f^{\prime}(x)$, kde $c$ je reálne číslo
2. $[f(x)\pm g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x)$ 
3. $[f(x)\cdot g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+ f(x) g^{\prime}(x)$
4. $ \bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\bigg]^{\prime}=\frac{f(x)^{\prime}g(x)-f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)}$, kde $g(x)\neq 0$.
5. $[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$

 

Základné derivácie elementárnych funkcií:

1. $c^{\prime}=0$,  kde $c$ je reálne číslo
2. $[x^{\alpha}]^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$,  kde $a$  je reálne číslo
3. $ [e^x]^{\prime}=e^x $
4. $[a^x]^{\prime}=a^x \ln a $ 
5. $[\ln x]^{\prime}=\frac{1}{x}$ 
6. $ [\log_a x]^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$ 
7. $[\sin x]^{\prime}=\cos x$ 
8. $[\cos x]^{\prime}=-\sin x$  
9. $ [\textrm{tg x}]^{\prime}=\frac{1}{\cos^2 x}$ 
10. $ [\textrm{cotg}\ x]^{\prime}=-\frac{1}{\sin^2 x}$ 
11. $ [\arcsin x]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,  pre $\left|x\right| < 1 $ 
12. $ [\arccos x]^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,   pre $\left|x\right| < 1 $
13. $ [\textrm{arctg x}]^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$  
14. $[\textrm{arccotg}\ x]^{\prime}=\frac{-1}{1+x^2}$ 

 

Definičný obor funkcie - Príklad 4

Definičný obor funkcie

Príklad 4

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$
f: y=\log(16-x^2)
$$

Riešenie

Argument logaritmu musí byť kladné číslo.
$$
16-x^2>0
$$
Keďže $16-x^2=(x+4)(x-4)$, môžeme použiť metódu nulových bodov alebo grafické riešenie. Výraz $ 16-x^2$ môže meniť znamienko iba v čísle $ x=-4$ alebo $ x=4$.

Parabola $f: y=16-x^2$ má konkávny priebeh. (Podrobnejšie vysvetlenie riešenia kvadratickej rovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4).

Definičný obor funkcie $f$ je interval: $D(f)= \left(-4;4\right)$.

Ďalšou možnosťou riešenia tejto nerovnice je priame využitie vlastností absolútnej hodnoty.
$$
 -x^2>-16
$$
Ekvivalentnými úpravami vyjadríme $x^2$.
$$
x^2<16
$$
$$
|x|^2<16
$$
Vieme, že platí: $x^2=|x|^2$.
$$
|x|<4
$$
Využili sme, že platí nasledujúci vzťah:
Ak $a,b\geq 0$, tak $ a^2\leq b^2 \Leftrightarrow a\leq b$.

Nerovnicu $ |x|<4$ vyriešime graficky na číselnej osi (jednorozmerný súradnicový systém). Keďže $ |x|$ predstavuje vzdialenosť čísla $x$ od začiatku súradnicového systému, zápis $ |x|<4$ znamená, že vzdialenosť $x$ od nuly má byť menšia ako štyri.
Do intervalu $\left(-4;4\right)$ patria také čísla, ktorých absolútna hodnota je menšia ako $\sqrt{16}=4$.

Definičný obor funkcie - Príklad 3

Definičný obor funkcie

Príklad 3

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$
f: y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\log(x+5)
$$

Riešenie: 

Musia byť splnené nasledujúce podmienky: Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule, výraz v menovateli je rôzny od nuly a argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula. Tieto podmienky musia platiť súčasne.
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0  \wedge x+1\neq 0  \wedge  x+5>0
$$
Môžeme stručne písať
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0 \wedge x+5>0
$$
pričom podmienku $ x+1\neq 0$ zohľadníme pri riešení prvej z nerovníc.

Je  viacero metód ako riešiť nerovnicu:
$$
\frac{x-1}{x+1}\geq 0
$$
Ukážeme metódu nulových bodov. Nulovým bodom výrazu budeme nazýva také číslo, v ktorom výraz nadobúda hodnotu nula.
Vidíme, že čitateľ môže zmeniť znamienko iba v čísle $1$ a menovateľ iba v čísle $-1$, teda celý zlomok môže zmeniť znamienko iba v niektorom z týchto dvoch čísel.
Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri intervaly $(-\infty, -1), (-1, 1\rangle, \langle1, \infty)$, v ktorých vyšetríme znamienko podielu.

• V intervale $(-\infty, -1)$ je čitateľ záporný  a aj menovateľ záporný.
• V intervale $(-1, 1\rangle$ je čitateľ záporný a menovateľ kladný.
• V intervale $ \langle1, \infty)$ je čitateľ kladný a aj menovateľ kladný.

Podiel je kladný vtedy a len vtedy, ak čitateľ aj menovateľ sú kladné čísla, alebo ak čitateľ a menovateľ sú záporné čísla.
Podmienke $\frac{x-1}{x+1}\geq 0$ vyhovujú intervaly: $x\in (-\infty, -1)$ a $\langle1, \infty)$.

Druhá podmienka:
$$
x+5>0
$$
$$
x>-5
$$
Tejto podmienke vyhovuje interval : $x\in (-5, \infty)$.

Výsledným definičným oborom funkcie $f$ je prienik množín tých reálnych čísel, ktoré vyhovujú podmienkam $ \frac{x-1}{x+1}\geq 0$ a $ x+5>0$
A teda $$ D(f)= (-5, -1) \cup \langle1, \infty).$$

Definičný obor funkcie - Príklad 2

Definičný obor funkcie

Príklad 2

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$
f: y=\ln(x^2-4x+3)
$$

Riešenie

Argument logaritmu (v našom prípade ide o prirodzený logaritmus) musí byť ostro väčší ako nula.
$$
x^2-4x+3 > 0
$$
Ponúkame grafické riešenie kvadratickej nerovnice. (Iné riešenie kvadratickej nerovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4.)
$$
x^2-4x+3 > 0
$$

Funkcia  $f$ má dva priesečníky s osou $x$. Priesečník s osou $x$ má tvar $P=[x;0]$.
Priesečníky vypočítame z rovnice $ x^2-4x+3= 0$. Riešením kvadratickej rovnice sú korene: $1$ a $3$.
Parabola, ktorá je grafom funkcie $f$ bude pretínať os $x$ práve v dvoch bodoch $[1; 0]$ a $[3;0]$. Keďže koeficient pri $x^2$ je kladné číslo, bude mať parabola konvexný tvar (ako písmeno U).
Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: $x^2-4x+3 > 0$. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi $y$) majú byť väčšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď $ x\in(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
Definičný obor funkcie je interval: $$D(f)=  (-\infty, 1) \cup (3, \infty).$$

Inverzná matica - Príklad 3

Inverzná matica

Príklad 3

Nájdite inverznú maticu k matici $C$, ak existuje.
$$
C=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Najprv zistíme, či k danej matici existuje inverzná matica, t.j. či $\det{C} \neq0$.
Ak je $\det{C} \neq0$, tak k matici $C$ existuje inverzná (označujeme $C^{-1}$).
$$
\det{C}=
\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $C^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice s využitím ekvivalentných riadkových úprav (tieto úpravy sú zadefinované v kapitole: Matice, hodnosť matíc - Príklad 6.)

Vynásobíme prvý riadok matice konštantou $\frac{1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
2 & 2 &3&1&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{2} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
$$
Následne od druhého riadku odpočítame prvý riadok matice a k tretiemu riadku matice pripočítame prvý riadok (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-R1\\
+R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
Potom druhý riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \\
 \cdot\frac{-1}{2}\\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus päťnásobok druhého riadku (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-5R2\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
$$
Tretí riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-4}{5}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \cdot\frac{-4}{5} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
Od prvého riadku matice odpočítame  $\frac{3}{2}$ tretieho riadku a od druhého $\frac{3}{4}$ riadku tri (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \cdot\frac{-3}{2}R3\\
 \cdot\frac{-3}{4}R3\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
K prvému riadku matice pripočítame mínus jeden násobok riadku dva (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 -R2\\
  \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 &0&-\frac{1}{5}&2&\frac{3}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
$$
C^{-1}=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} & 2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5} 
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica - Príklad 2

Inverzná matica

Existuje viacero metód na hľadanie inverznej matice. V tomto príklade ukážeme metódu, v ktorej využívame blokovú maticu.
Blokovú maticu dostaneme tak, že na ľavú stanu bloku napíšeme maticu, ku ktorej hľadáme inverznú maticu a na pravú stranu bloku jednotkovú maticu rovnakého typu ako je pôvodná matica.
Cieľom je, pomocou ekvivalentných úprav získať na ľavej strane bloku jednotkovú maticu a matica, ktorá vznikne na pravej strane tohto bloku bude inverznou maticou k pôvodnej matici.

Pri ekvivalentných úpravách pracujeme s celým riadkom tohto bloku. Používame iba riadkové úpravy!

Inverzná matica existuje k matici $A$ práve vtedy, keď matica $A$. je regulárna t.j. $\det{A}\neq0$.

Príklad 2

Nájdite inverznú maticu k matici $B$, ak existuje.
$$
B=
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné zistiť, či k danej matici existuje inverzná matica. T.j. $\det{B}\neq0$. Ak je $\det{B}\neq0$, tak k matici $B$ existuje inverzná, ktorú budeme označovať $B^{-1}$.
$$
\det{B}=
\left|\begin{array}{rrrr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right|=12\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $B^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice.
$$
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0& 1&0\\
9 &3&0&1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{4} \\
\cdot\frac{1}{3} \\
\end{array}
\sim
\left(\begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
3 &1&0&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
-3R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
0 &1&-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$
$$
B^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
 \frac{1}{4}&0\\
-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$

Definičný obor funkcie - Príklad 1

Definičný obor funkcie

Pri určovaní definičného oboru funkcie, ktorá je zložená z elementárnych funkcii je nutné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:

• výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule,
• výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule,
• argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula,
• argument funkcie $\arcsin$ a  $\arccos$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.

Príklad 1

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$
f: y=\frac{x^2-8}{x^2-x-6}
$$

Riešenie:

Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule.
$$
x^2-x-6\neq 0
$$
Kvadratický výraz prepíšeme na súčin využitím vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice $ax^2+bx+c=0$.
Tieto korene vypočítame podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$
x^2-x-6= (x-3)(x+2)
$$
Teda
$$
(x-3)(x+2)\neq 0
$$
Súčin je rôzny od nuly práve vtedy, keď sú oba činitele rôzne od nuly.
$$
(x-3)\neq 0\ \wedge\ (x+2)\neq 0
$$
Symbol $\wedge$ znamená, že podmienky musia platiť súčasne.
$$
x\neq 3\ \wedge\ x\neq -2
$$
$$
D(f)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2, 3\}= (-\infty, -2)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)
$$
(Čítame: Definičným oborom funkcie $f$ je množina všetkých reálnych čísel s výnimkou dvojprvkovej množiny obsahujúcej čísla $-2$ a $3$.)

Sústava lineárnych rovníc - Príklad 3

Sústava lineárnych rovníc 

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc nad $\mathbb{R}$.

$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
2x_1+x_2-5x_3&=&1\\
x_1-x_2-x_3&=&-2\\
\end{array}
$$

Riešenie

$$\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
2&1&-5&1\\
1&-1&-1&-2 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
-2R1\\
-R1\\
\end{array}\sim
$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
0&-3&3&-1\\
0&-3&3&-3 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
-R2\\
\end{array} \sim
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&2&-4&1\\
0&-3&3&-1\\
0&0&0&-2 \\
\end{array} \right)
$$
Túto poslednú maticu prepíšeme do sústavy lineárnych rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
-3x_2+3x_3&=&-1\\
0x_3&=&-2\\
\end{array}
$$

Keďže posledná z rovníc výsledného systému je sporná, táto sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. A keďže výsledná sústava lineárnych rovníc je ekvivalentný s pôvodnou sústavou lineárnych rovníc (sústavy sú ekvivalentné lebo výsledná vznikla z pôvodnej iba použitím ekvivalentných úprav) množina ich riešení je rovnaká.

Sústava lineárnych rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
x_1+2x_2-4x_3&=&1\\
2x_1+x_2-5x_3&=&1\\
x_1-x_2-x_3&=&-2\\
\end{array}
$$
nemá riešenie.

Sústavy lineárnych rovníc - Príklad 1

Sústavy lineárnych rovníc

Riešiť sústavu lineálnych rovníc znamená, hľadať usporiadanú $n$-ticu, ktorá vyhovuje každej zo zadaných rovníc.

Sústava môže mať:

• jediné riešenie v tvare usporiadanej $n$-tice, 
• nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej $n$-tice,
• alebo žiadne riešenie.

Gaussová eliminačná metóda
Riešeniu rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy predchádza prepis sústavy rovníc do tvaru rozšírenej matice. Princíp tejto metódy spočíva v úprave matice na trojuholníkovú resp. lichobežníkovú maticu prostredníctvom ekvivalentných úprav. Pomocou týchto úprav dostávame z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc novú sústavu, ktorej množina riešení je rovnaká. 

Za ekvivalentné úpravy rovníc [EUR] považujeme nasledujúce:

• [EUR1] výmena poradia rovníc v sústave,
• [EUR2] vynásobenie ľubovoľnej rovnice nenulovou konštantou,
• [EUR3] pripočítanie $k$-násobku jednej rovnice k inej rovnici. 

Príklad 1

 Riešte sústavu lineárnych rovníc v $\mathbb{R}$ (v množine reálnych čísel).
 $$
\begin{eqnarray*}
2x_1+2x_2+ 3x_3&=&1\\
x_1-x_2&=&0\\
-x_1+4x_2+x_3&=&0\\
\end{eqnarray*}
$$

Riešenie

Rovnicu prepíšeme do maticového tvaru. Rozšírenú maticu sústavy lineárnych rovníc upravujeme na trojuholníkový (resp. lichobežníkový) tvar.

$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
2&2&3&1 \\
1&-1&0&0 \\
-1&4&1&0 \\
\end{array} \right)
$$
Najprv vymeníme prvý a druhý riadok matice (EUR1).
$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
1&-1&0&0 \\
2&2&3&1 \\
-1&4&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
-2R1\\
+R1\\
\end{array}
$$
K druhému riadku pripočítame mínus dvojnásobok prvého riadku a k tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (EUR3).
$$
\left( \begin{array}{rrl|r}
1&-1&0&0 \\
0&4&3&1 \\
0&3&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\frac{1}{4}\\
\\
\end{array}
$$
Druhý riadok matice vynásobíme nenulovou konštantou (EUR2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&-1&0&0 \\
0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\
0&3&1&0 \\
\end{array}\right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
-3R2\\
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
1&-1&0&0 \\
0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\
0&0&-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4} \\
\end{array} \right)
$$
Prepíšeme poslednú maticu do systému lineárnych rovníc:
$$
\begin{eqnarray}
x_1-x_2&=&0\\
x_2+\frac{3}{4}x_3&=&\frac{1}{4}\\
-\frac{5}{4}x_3&=&-\frac{3}{4}
\end{eqnarray}
$$
Táto sústava lineárnych rovníc vznikla z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc len použitím ekvivalentných úprav. Riešenie tejto sústavy bude teda rovnaké ako riešenie pôvodnej sústavy lineárnych rovníc.

Z tretej rovnice dostávame
$$\begin{eqnarray*}
x_3&=&\frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Dosadením známej hodnoty za premennú $x_3$ do druhej rovnice, dostávame $x_2$:
$$\begin{eqnarray*}
x_2&=&-\frac{1}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Podobne dosadením známych hodnôt za premenné $x_2$ a $x_3$ do prvej rovnice, dostávame  $x_1$:
$$\begin{eqnarray*}
x_1&=&-\frac{1}{5}
\end{eqnarray*}
$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc je jediná usporiadaná trojica: $\left[-\frac{1}{5};-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right]$.

Derivácia funkcie

Úloha 4. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}.$$

Riešenie:
 Najprv upravíme funkciu na jednoduchší tvar:
$$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}=
x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot x^{-2}}{x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}=
x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^2\cdot x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}=$$
$$x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{2+4+\frac{2}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{20}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{5}{4}-\frac{20}{3}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}.$$

Derivujeme funkciu
$$f^{\prime}(x)=\left(x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}\right)^{\prime}=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{65}{12}x^{-\frac{77}{12}}.$$

Determinanty - Príklad 3

Determinanty

Príklad 3

Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie:

Na výpočet tohto determinantu použijeme metódu známu ako rozvoj determinantu podľa riadku (stĺpca). Túto metódu je možné použiť aj na výpočet determinantov z matice typu $3\times3$. Aby sme celý výpočet zjednodušili použijeme vlastnosti determinantov (spomenuté v predchádzajúcom príklade) nato, aby sme vytvorili riadok (stĺpec), ktorý obsahuje čo najväčší počet núl. Tieto úpravy niesú nutné, ale celý výpočet značne urýchlia.
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|= \dots = 5 \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & -4& -6&2\\
0 &9& 10&9\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|=
$$
Rozvoj determinantu urobíme podľa prvého stĺpca:
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|+ 
5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{2+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array} \right|+
$$
$$
5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{3+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
-4& -6&2\\
1& -1&1\\
\end{array} \right|
+5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{4+1} \left|\begin{array}{rrr}
3& 2&4\\
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
\end{array} \right|=
$$
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|
$$
Na výpočet tohto determinantu môžeme použiť opakovaný rozvoj determinantu alebo metódu známu ako Sarussovo pravidlo.
POZOR! Sarussovo pravidlo môžeme použiť LEN na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$!
$$
\left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|=
$$
$$
-4\cdot 10\cdot 1+9\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot (-6)\cdot 9-
\left[1\cdot 10\cdot 2+ (-1)\cdot 9\cdot (-4)+1\cdot 9\cdot (-6))\right]=
$$
$$
-40-18-54-20-36+54=-114
$$
Sarussovo pravidlo sme použili na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$, ktorý vznikol ako jeden z medzikrokov pri použití rozvoja. Našim cieľom bolo vypočítať determinant z matice typu $4\times 4$.
Vrátime sa teda o krok späť:
$$
5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr}
-4& -6&2\\
9& 10&9\\
1& -1&1\\
\end{array}\right|= 5\cdot (-114)= -570
$$

Priebeh funkcie - Príklad 2

 Priebeh funkcie 

Príklad 2

Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nekreslite jej graf.

$$
f: y=\frac{2x^3}{x^2-1}
$$

Riešenie:

I. Z predpisu funkcie určujeme:

• 1. definičný obor funkcie,
• 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
• 3. priesečníky so súradnicovými osami,
• 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice

1. definičný obor funkcie

Menovateľ výrazu musí byť rôzny od nuly
$$
x^2-1\neq 0
$$
Najprv zistíme, pre ktoré hodnoty premennej $x$ sa výraz $x^2-1$ rovná nule.
$$
x^2-1=0
$$
Napíšeme tento výraz v tvare súčinu. Využijeme vzťah: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$$
(x-1)(x+1)=0
$$
Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak jeden z činiteľov je rovný nule.
Teda : $x=1$ alebo $x=-1$.
Definičným oborom funkcie $f$ je celá množina reálnych čísel okrem čísel $1$ a $-1$ t.j.: 
$$
D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;\infty)
$$

2. párnosť, nepárnosť funkcie

Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.

Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=-f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.

Overme, čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$
f(-x)= \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-1}=\frac{-2(x)^3}{(x)^2-1}=-\frac{2x^3}{x^2-1}=-f(x)
$$
Keďže definičný obor funkcie je symetrický a funkčná hodnota v bode $-x$ je rovná mínus funkčnej hodnote v bode $x$, je funkcia $f$ nepárna.

3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$

Priesečník s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).

Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$
 0= \frac{2x^3}{x^2-1}
$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak je čitateľ rovný nule t.j., ak
\begin{eqnarray*}
0&=& 2x^3\\
0&=& x\\
\end{eqnarray*}

Priesečník s osou $x$ je teda bod so súradnicami $[0,0]$. Priesečník s osou $y$ má súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu $f(0)$ získame dosadením $x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$
f(0)= \frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$
Vidíme, že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$), pričom iné priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.

4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice

Priamku, ktorá má rovnicu $x=a$, nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie $f$, ak funkcia $f$ má v čísle $a$ nevlastnú limitu alebo nevlastnú limitu sprava alebo zľava.

$$
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x\rightarrow -1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty
$$

Funkcia $f$ má asymptoty bez smernice, ktorých rovnice sú: $x=-1$ a $x=1$.

Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: $y_1=k_1\cdot x + q_1$ a $y_2=k_2\cdot x + q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$ sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
$$
$$
q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)
$$
$$
k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}
$$
$$
q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)
$$
$$
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2
$$
$$
q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2-1}=0
$$
V plus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_1=2x$
$$
k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2
$$
$$
q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-1}=0
$$
V mínus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_2=2x$

II. Z prvej derivácia funkcie určujeme

• 5. stacionárne body,
• 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
• 7. extrémy funkcie.

$$f(x)=\frac{2x^3}{x^2-1}$$
Túto funkciu derivujeme ako podiel dvoch funkcií
$$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3)^{\prime}\cdot(x^2-1)-(2x^3)\cdot(x^2-1)^{\prime}}{(x^2-1)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{6x^2\cdot(x^2-1)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}$$

5. stacionárne body

Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$
\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}=0
$$
$$
2x^4-6x^2=0
$$
iba čitateľ môže byť rovný nule
$$
2x^2(x^2-3)=0=0
$$
$$
2x^2=0\, \text{alebo}\, x^2-3=0
$$
$$
x=0\, \text{alebo}\, x=\pm\sqrt{3}
$$

Funkcia má tri stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ově súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.



$$
f(0)=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$
$$
f(\sqrt{3})=\frac{2\cdot \sqrt{3}^3}{\sqrt{3}^2-1}
$$
$$
f(-\sqrt{3})=\frac{2\cdot (-\sqrt{3})^3}{(-\sqrt{3})^2-1}
$$

6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)

Funkcia je rastúca (klesajúca)  práve vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime}(x)> 0 \ (f^{\prime}(x)<0)$.
$$
\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}>0
$$

Funkcia $ (x^2-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Keďže podiel má byť kladný, musí platiť:
$$
2x^4-6x^2>0
$$
$$
2x^2(x^2-3)>0
$$
Keďže funkcia $2x^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$, aby bol daný súčin kladný, postačuje aby funkcia $x^2-3$ bola kladná.
$$
x^2-3>0
$$
Tento výraz prepíšeme na súčin dvoch výrazov s použitím vzťahu: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$$
\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0
$$
Čísla $ \sqrt{3}$ a $ -\sqrt{3}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na nasledujúce intervaly: $ (-\infty, -\sqrt{3})$, $ \left(-\sqrt{3}, -1\right)$, $ \left(-1, 1\right)$,$ \left(1;\sqrt{3}\right)$, $\left(\sqrt{3}, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

Ďalej je potrebné určiť intervaly, na ktorých funkcia $f$ klesá, teda je potrebné určiť intervaly, kde
$$
\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}<0
$$
Keďže výraz $\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Výraz bude záporny vtedy, keď $x^2-3<0$. Vidieť, že výraz $ x^2-3<0$ je záporný, ak $x\in \left(-\sqrt{3}, -1\right)\cup\left(-1, 1\right)\cup\left(1;\sqrt{3}\right)$.

7. Lokálne extrémy funkcie

Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $-\sqrt{3}$ (lokálne maximum) a v čísle $\sqrt{3}$ (lokálne minimum).

III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:

• 8. intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
• 9. inflexné body funkcie

$$
f^{\prime\prime}(x)= (f^{\prime}(x))^{\prime}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \left(\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}\right)^{\prime}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \frac{(2x^4-6x^2)^{\prime}(x^2-1)^2-(2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)^\prime}{(x^2-1)^4}
$$
$$
f^{\prime\prime}(x)= \frac{4x^3+12x}{(x^2-1)^3}=\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}
$$

8. Intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná

Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}>0
$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ kladný.
Podiel je kladný, ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$) , alebo ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-1;0)\cup(1;\infty)$$

Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}<0
$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ záporný.
Podiel je záporný, ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$), alebo ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konkávna,ak
$$x\in (-\infty;-1)\cup(0;1)$$

9. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod, v ktorom funkcia mení priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$
f^{\prime\prime}(x)= 0
$$
$$
\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0
$$
$$
4x(x^2+3)=0
$$
Ak $x=0$, tak $4x(x^2+3)=0$.  Výraz $x^2+3$ nenadobudne hodnotu nula pre žiadne číslo definičného oboru funkcie.

Týmto postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$.

$$
f: y=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0
$$



10. Graf funkcie

Inverzná matica - Príklad 1

Inverzná matica

 

Príklad 1

Nájdite inverznú maticu k matici $A$ pomocou adjugovanej matice.

$$
A=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Inverznú maticu hľadáme pomocou pridruženej (adjungovanej) matice:
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
A_{11} & A_{21} &A_{31} \\
A_{12} &A_{22}&A_{32} \\
A_{13} &A_{23}&A_{33} 
\end{array} \right)
$$
s využitím vzťahu:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*
$$

Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$
\det{(A)}=
\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5
$$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant z matice $M_{ij}$.
Matica  $M_{ij}$ je matica, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.

Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$
A_{11}=(-1)^{1+1}
\left| \begin{array}{rrr}
-1&0\\
4&1
\end{array} \right|=-1
$$

Algebrický doplnok $A_{12}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a druhého stĺpca.
$$
A_{12}=
(-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rrr}
1 &0\\
-1 &1
\end{array} \right|=-1
$$
Podobne vypočítame algebrické doplnky prislúchajúce ostatným indexom.  
$$
A_{13}=
(-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rrr}
1 &-1\\
-1 &4
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{21}=
(-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
4&1
\end{array} \right|=10
$$
$$
A_{22}=
(-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr}
2&3\\
-1&1
\end{array} \right|=5
$$
$$
A_{23}=
(-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 \\
-1 &4
\end{array} \right|=-10
$$
$$
A_{31}=
(-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
-1&0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{32}=
(-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
1 &0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{33}=
(-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2\\
1 &-1\\
\end{array} \right|=-4
$$
Adjungovaná matica $A^*$ má tvar
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica k matici $A$ je:
$$
A^{-1}=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} &2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$

Determinanty - Príklad 2

Determinanty

Pri výpočte príkladu 2 budeme pracovať s niektorými z nasledujúcich vlastností determinantov:

Nech $A$ je štvorcová matica rádu $n\geq 2$.

• [V1.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ výmenou dvoch riadkov (stĺpcov), potom $\det{A} = -\det{B} $.
• [V2.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ násobením nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ konštantou $k$, potom $\det{B} = k \cdot \det{A} $.
• [V3.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) k nejakému riadku (stĺpcu) matice $A$, potom $\det{B} =\det{A} $.
• [V4.] Ak matica $A^T$ vznikla transponovaním matice $A$, potom $\det{A^T} = \det{A}$.
• [V5.] Ak všetky prvky nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ sú rovné $0$, potom $\det{A} = 0$.
• [V6.] Ak matica $A$ je trojuholníková, potom jej determinant je rovný súčinu prvkov na hlavnej uhlopriečke: $\det{A} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{nn}$.
• [V7.] Ak matice $A$ a $B$ sú obidve štvorcové rádu $n$, potom $\det{A} \cdot \det{B}= \det{A} \cdot \det{B} $.

Príklad 2

Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie:

Najprv vyriešime tento determinant pomocou úpravy na trojuholníkový tvar (šiesta vlastnosť)

$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
5 & 3& 2&4\\
10 & 2& -2&10\\
-5 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right| \stackrel{=}{\text{V2}}
$$
$$
5 \cdot \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
2 & 2& -2&10\\
-1 &6& 8&5\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|\begin{array}{r}
\\
-2R1\\
+R1\\
\\
\end{array}\stackrel{=}{\text{V3}}
5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & -4& -6&2\\
0 &9& 10&9\\
0 & 1& -1&1\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 2.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{V1}}
$$
$$
-5\cdot \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1&-1&1\\
0 & 9&10&9\\
0 &-4&-6&2\\
\end{array} \right|\begin{array}{r}
\\
\\
-9R2\\
4R2\\
\end{array} =
-5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1& -1&1\\
0 & 0& 19&0\\
0 & 0& -10&6\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{ V1}}
$$
$$

5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 2&4\\
0 & 1& -1&1\\
0 &0& -10&6\\
0 & 0& 19&0\\
\end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. ståpca}}\stackrel{=}{\text{V1}}
-5 \cdot\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3& 4&2\\
0 & 1& 1&-1\\
0 & 0& 6&-10\\
0 & 0& 0&19\\
\end{array} \right|=-5\cdot 1\cdot 1 \cdot 6\cdot 19 =-570
$$

Determinanty - Príklad 1

Determinanty

Príklad 1

Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{rr}
3 & 4\\
7 & 5\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie:

K riešeniu využijeme schému:
$$
\left|
\begin{array}{rr}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}
$$
$$
\left|
\begin{array}{rr}
3 & 4\\
7 & 5\\
\end{array} \right|=3\cdot 5-4\cdot 7=15-28=-13
$$

Matice, maticové mnohočleny - Príklad 9

Matice, maticové mnohočleny

Príklad 9

Vypočítajte $f(A)$, ak

$$
f(x)=x^2-5x+3,\, \text{kde}\, A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Maticové mnohočleny sú také mnohočleny (polynómy), kde namiesto premennej $x$ figuruje matica.

Prepíšeme zadaný mnohočlen pomocou matice $A$.
$$
f(A)=A^2-5A^1+3A^0
$$

Zo zápisu je vidieť, že s maticou $A$ uskutočníme nasledujúce operácie:
- umocniť maticu,
- vynásobiť matice reálnym číslom,
- sčítať vzniknuté matice.

Umocniť maticu, znamená vynásobiť navzájom dve identické matice. Pri takomto násobení sa zachováva typ matice. Umocňovať je možné iba štvorcové matice.
Keďže matica $A$ je štvorcová, môžeme ju umocniť:
$$
A^2=A\cdot A=
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right) \cdot
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)
$$
Násobiť maticu $A$ číslom znamená, vynásobiť každý prvok tejto matice daným číslom.
$$
-5\cdot A=
-5\cdot \left( \begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-10 & -5 & -5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)
$$
Matica umocnená na nultú je jednotková matica rovnakého typu ako matica $A$.

$$
3\cdot A^0=
3\cdot \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0\\
0 &1&0\\
0&0&1
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 0 & 0\\
0 &3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)
$$
Posledným krokom je samotné sčítanie matíc.
Pripomíname, že sčítavať môžeme len matice rovnakého typu (čo je v našom prípade určite splnené, keďže všetky operácie sa vykonávali len s maticou $A$). Matice sčítavame tak, že sčítame prvky na rovnakých pozíciách.
$$
f(A)=\left( \begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)+
\left( \begin{array}{rrr}
-10&-5&-5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)+
\left(\begin{array}{rrr}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)=
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1&-3&-1\\
-4&0&-5\\
-6&5&2
\end{array} \right)
$$

Matice, hodnosť matíc - Príklad 8

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 8

 

Určte hodnosť matice $C$, kde $p\in \mathbb{R}$ je parameter:
$$
C=\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Hodnosť matice $C$ je maximálne $3$. Pomocou ekvivalentných úprav (úpravy E1 až E4) upravíme maticu $C$ na trojuholníkový tvar.
$$
\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$
Prvou úpravou je výmena stĺpcov: tretí stĺpec zameníme za prvý (úprava E1).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
$$
Ďalšou úpravou je pripočítanie vhodného násoboku prvého riadku matice k druhému a následne tretiemu riadku tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprava E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-15R1\\
+3R1
\end{array}
$$
Následne tretí riadok matice vynásobíme reálnym číslom (úprava E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & -4 & 10
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
\cdot 4
\end{array}
$$
Poslednou úpravou je pripočítanie druhého riadku k tretiemu riadku (úprava E3). 
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 &-16 & 40 \end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
+R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Diskusia:
Ak $p-5=0$ (a teda ak $p=5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $2$.
Teda:
Ak $p= 5$, tak hodnosť matice $C$ je $2$ (zapisujeme $rank(C)=2$).

Ak $p-5\neq 0$ (a teda ak $p\neq 5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $3$.
Ak $p\neq 5$, tak hodnosť matice $C$ je $3$ (zapisujeme $rank(C)=3$).

Matice, hodnosť matíc - Príklad 7

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 7

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $B$:
$$
B=\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\
4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\
2 & -1 & 1 & 8 & 2
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Podobne ako v predchádzajúcom príklade, na výpočet hodnosti matice $B$ použijeme ekvivalentné úpravy.

Hodnosť matice je počet nenulových riadkov matice upravenej na trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar.

Hodnosť matice $B$ môže byť maximálne 3, keďže matica má 3 riadky.
$$
B=\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2& 4 \\
4 &-2 & 5 & 1 & 7 \\
2 &-1 &1 & 8 & 2
\end{array} \right)
$$
K druhému a tretiemu riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprave E3). 
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\
4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\
2 & -1 &1 & 8 & 2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-2R1\\
-1R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\
0 &0 & -2 & 10 & -2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
-2R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\
0 &0 &0 & 0 &0\\
\end{array} \right)
$$

Počet nenulových riadkov matice $B$ je $2$. Hodnosť matice $B$ je $rank(B)=2$.