Derivácia funkcie - Príklad 2

Derivácia funkcie

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y=x^3-7x^2+5x-3$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(x^3-7x^2+5x-3\right)^{\prime}=$$
$$(x^3)^{\prime}-(7x^2)^{\prime}+(5x)^{\prime}-3^{\prime}= 3x^2-14x+5$$

Derivácia funkcie - Príklad 5

 Derivácia funkcie

Príklad 5

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.

$$y= e^x \cdot \cos{x}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left( e^x \cdot \cos{x}\right)^{\prime}=$$
$$(e^x)^{\prime}\cos{x}+e^x\cdot(\cos{x})^{\prime}= e^x\cdot\cos{x}+e^x\cdot(-\sin{x})= e^x(\cos{x}-\sin{x})$$

Derivácia funkcie - Príklad 6

Derivácia funkcie

Príklad 6

 

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.

$$y= \sqrt{x^2-8x+3}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}= \sqrt{x^2-8x+3}=\left[(x^2-8x+3)^{1/2}\right]^{\prime}$$
$$\frac{1}{2}\left(x^2-8x+3\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(x^2-8x+3\right)^{\prime}=$$
$$\frac{1}{2}\left(x^2-8x+3\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(2x-8\right)= \frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x+3}}= \frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+3}}$$

Derivácia funkcie - Príklad 7

Derivácia funkcie

Príklad 7

 

Vypočítajte druhú deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y=x\cdot\tan{3x}$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(x\cdot\tan 3x\right)^{\prime}$$
Túto funkciu derivujeme ako súčin:
$$y^{\prime}=\left(x\right)^{\prime}\tan 3x+x\left(\tan 3x\right)^{\prime}=$$
$$\tan{3x}+x\cdot\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3=\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}$$
Druhú deriváciu vypočítame tak, že znova zderivujeme výraz:
$$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}+\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}$$
derivujeme ako súčet:
  $$y^{\prime\prime}=\left(\tan{3x}\right)^{\prime}+\left(\frac{3x}{\cos^2{3x}}\right)^{\prime}=$$
$$\frac{1}{\cos^2{3x}}\cdot 3+\frac{3\cos^2{3x}-3x\cdot 3\cos{3x}\left(-\sin{3x}\right)\cdot 3}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos^2{3x}+27x\cdot\cos{3x}\cdot \sin{3x}}{\cos^4{3x}}=$$
$$\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3\cos{3x}(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^4{3x}}=\frac{3}{\cos^2{3x}}+\frac{3(\cos{3x}+9x\cdot \sin{3x})}{\cos^3{3x}}$$

Derivácia funkcie

Derivácia funkcie

 

Všeobecné pravidlá derivovania funkcií

 

1. $[c\cdot f(x)]^{\prime}=c f^{\prime}(x)$, kde $c$ je reálne číslo
2. $[f(x)\pm g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x)$ 
3. $[f(x)\cdot g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+ f(x) g^{\prime}(x)$
4. $\bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\bigg]^{\prime}=\frac{f(x)^{\prime}g(x)-f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)}$, kde $g(x)\neq 0$.
5. $[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$

 

Základné derivácie elementárnych funkcií:

1. $c^{\prime}=0$,  kde $c$ je reálne číslo
2. $[x^{\alpha}]^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$,  kde $a$  je reálne číslo
3. $[e^x]^{\prime}=e^x$
4. $[a^x]^{\prime}=a^x \ln a$ 
5. $[\ln x]^{\prime}=\frac{1}{x}$ 
6. $[\log_a x]^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$ 
7. $[\sin x]^{\prime}=\cos x$ 
8. $[\cos x]^{\prime}=-\sin x$  
9. $[\textrm{tg x}]^{\prime}=\frac{1}{\cos^2 x}$ 
10. $[\textrm{cotg}\ x]^{\prime}=-\frac{1}{\sin^2 x}$ 
11. $[\arcsin x]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,  pre $\left|x\right| < 1$ 
12. $[\arccos x]^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,   pre $\left|x\right| < 1$
13. $[\textrm{arctg x}]^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$  
14. $[\textrm{arccotg}\ x]^{\prime}=\frac{-1}{1+x^2}$ 

 

Definičný obor funkcie - Príklad 4

Definičný obor funkcie

Príklad 4

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f: y=\log(16-x^2)$$

Riešenie

Argument logaritmu musí byť kladné číslo.
$$16-x^2>0$$
Keďže $16-x^2=(x+4)(x-4)$, môžeme použiť metódu nulových bodov alebo grafické riešenie. Výraz $16-x^2$ môže meniť znamienko iba v čísle $x=-4$ alebo $x=4$.

Parabola $f: y=16-x^2$ má konkávny priebeh. (Podrobnejšie vysvetlenie riešenia kvadratickej rovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4).

Definičný obor funkcie $f$ je interval: $D(f)= \left(-4;4\right)$.

Ďalšou možnosťou riešenia tejto nerovnice je priame využitie vlastností absolútnej hodnoty.
$$-x^2>-16$$
Ekvivalentnými úpravami vyjadríme $x^2$.
$$x^2<16$$
$$|x|^2<16$$
Vieme, že platí: $x^2=|x|^2$.
$$|x|<4$$
Využili sme, že platí nasledujúci vzťah:
Ak $a,b\geq 0$, tak $a^2\leq b^2 \Leftrightarrow a\leq b$.

Nerovnicu $|x|<4$ vyriešime graficky na číselnej osi (jednorozmerný súradnicový systém). Keďže $|x|$ predstavuje vzdialenosť čísla $x$ od začiatku súradnicového systému, zápis $|x|<4$ znamená, že vzdialenosť $x$ od nuly má byť menšia ako štyri.
Do intervalu $\left(-4;4\right)$ patria také čísla, ktorých absolútna hodnota je menšia ako $\sqrt{16}=4$.

Definičný obor funkcie - Príklad 3

Definičný obor funkcie

Príklad 3

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$f: y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\log(x+5)$$

Riešenie: 

Musia byť splnené nasledujúce podmienky: Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule, výraz v menovateli je rôzny od nuly a argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula. Tieto podmienky musia platiť súčasne.
$$\frac{x-1}{x+1}\geq 0  \wedge x+1\neq 0  \wedge  x+5>0$$
Môžeme stručne písať
$$\frac{x-1}{x+1}\geq 0 \wedge x+5>0$$
pričom podmienku $x+1\neq 0$ zohľadníme pri riešení prvej z nerovníc.

Je  viacero metód ako riešiť nerovnicu:
$$\frac{x-1}{x+1}\geq 0$$
Ukážeme metódu nulových bodov. Nulovým bodom výrazu budeme nazýva také číslo, v ktorom výraz nadobúda hodnotu nula.
Vidíme, že čitateľ môže zmeniť znamienko iba v čísle $1$ a menovateľ iba v čísle $-1$, teda celý zlomok môže zmeniť znamienko iba v niektorom z týchto dvoch čísel.
Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri intervaly $(-\infty, -1), (-1, 1\rangle, \langle1, \infty)$, v ktorých vyšetríme znamienko podielu.

• V intervale $(-\infty, -1)$ je čitateľ záporný  a aj menovateľ záporný.
• V intervale $(-1, 1\rangle$ je čitateľ záporný a menovateľ kladný.
• V intervale $\langle1, \infty)$ je čitateľ kladný a aj menovateľ kladný.

Podiel je kladný vtedy a len vtedy, ak čitateľ aj menovateľ sú kladné čísla, alebo ak čitateľ a menovateľ sú záporné čísla.
Podmienke $\frac{x-1}{x+1}\geq 0$ vyhovujú intervaly: $x\in (-\infty, -1)$ a $\langle1, \infty)$.

Druhá podmienka:
$$x+5>0$$
$$x>-5$$
Tejto podmienke vyhovuje interval : $x\in (-5, \infty)$.

Výsledným definičným oborom funkcie $f$ je prienik množín tých reálnych čísel, ktoré vyhovujú podmienkam $\frac{x-1}{x+1}\geq 0$ a $x+5>0$
A teda $$D(f)= (-5, -1) \cup \langle1, \infty).$$

Definičný obor funkcie - Príklad 2

Definičný obor funkcie

Príklad 2

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$f: y=\ln(x^2-4x+3)$$

Riešenie

Argument logaritmu (v našom prípade ide o prirodzený logaritmus) musí byť ostro väčší ako nula.
$$x^2-4x+3 > 0$$
Ponúkame grafické riešenie kvadratickej nerovnice. (Iné riešenie kvadratickej nerovnice je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 4.)
$$x^2-4x+3 > 0$$

Funkcia  $f$ má dva priesečníky s osou $x$. Priesečník s osou $x$ má tvar $P=[x;0]$.
Priesečníky vypočítame z rovnice $x^2-4x+3= 0$. Riešením kvadratickej rovnice sú korene: $1$ a $3$.
Parabola, ktorá je grafom funkcie $f$ bude pretínať os $x$ práve v dvoch bodoch $[1; 0]$ a $[3;0]$. Keďže koeficient pri $x^2$ je kladné číslo, bude mať parabola konvexný tvar (ako písmeno U).
Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: $x^2-4x+3 > 0$. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi $y$) majú byť väčšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď $x\in(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
Definičný obor funkcie je interval: $$D(f)=  (-\infty, 1) \cup (3, \infty).$$

Inverzná matica - Príklad 3

Inverzná matica

Príklad 3

Nájdite inverznú maticu k matici $C$, ak existuje.
$$C= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Najprv zistíme, či k danej matici existuje inverzná matica, t.j. či $\det{C} \neq0$.
Ak je $\det{C} \neq0$, tak k matici $C$ existuje inverzná (označujeme $C^{-1}$).
$$\det{C}= \left|\begin{array}{rrrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right|=5\neq0$$
Teda existuje inverzná matica  $C^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice s využitím ekvivalentných riadkových úprav (tieto úpravy sú zadefinované v kapitole: Matice, hodnosť matíc - Príklad 6.)

Vynásobíme prvý riadok matice konštantou $\frac{1}{2}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 2 & 2 &3&1&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l} \cdot\frac{1}{2} \\  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right)$$
Následne od druhého riadku odpočítame prvý riadok matice a k tretiemu riadku matice pripočítame prvý riadok (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 1 &-1&0&0&1&0\\ -1 &4&1 &0&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}} \\ -R1\\ +R1\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right)$$
Potom druhý riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-1}{2}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \\  \cdot\frac{-1}{2}\\  \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right)$$
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus päťnásobok druhého riadku (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}}\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ -5R2\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1 \end{array} \right)$$
Tretí riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-4}{5}$ (E2).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1 \end{array} \right) \begin{array}{l}  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \phantom{\frac{3}{2}} \\  \cdot\frac{-4}{5} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
Od prvého riadku matice odpočítame  $\frac{3}{2}$ tretieho riadku a od druhého $\frac{3}{4}$ riadku tri (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\ 0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right) \begin{array}{l}  \cdot\frac{-3}{2}R3\\  \cdot\frac{-3}{4}R3\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
K prvému riadku matice pripočítame mínus jeden násobok riadku dva (E3).
$$\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right) \begin{array}{l}  -R2\\   \phantom{\frac{3}{2}}\\  \phantom{\frac{3}{2}} \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 &0&-\frac{1}{5}&2&\frac{3}{5}\\ 0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\ 0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$
$$C^{-1}= \left( \begin{array}{rrr} -\frac{1}{5} & 2 &\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5}  \end{array} \right)$$

Inverzná matica - Príklad 2

Inverzná matica

Existuje viacero metód na hľadanie inverznej matice. V tomto príklade ukážeme metódu, v ktorej využívame blokovú maticu.
Blokovú maticu dostaneme tak, že na ľavú stanu bloku napíšeme maticu, ku ktorej hľadáme inverznú maticu a na pravú stranu bloku jednotkovú maticu rovnakého typu ako je pôvodná matica.
Cieľom je, pomocou ekvivalentných úprav získať na ľavej strane bloku jednotkovú maticu a matica, ktorá vznikne na pravej strane tohto bloku bude inverznou maticou k pôvodnej matici.

Pri ekvivalentných úpravách pracujeme s celým riadkom tohto bloku. Používame iba riadkové úpravy!

Inverzná matica existuje k matici $A$ práve vtedy, keď matica $A$. je regulárna t.j. $\det{A}\neq0$.

Príklad 2

Nájdite inverznú maticu k matici $B$, ak existuje.
$$B= \left( \begin{array}{rr|rr} 4 & 0\\ 9 &3\\ \end{array} \right)$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné zistiť, či k danej matici existuje inverzná matica. T.j. $\det{B}\neq0$. Ak je $\det{B}\neq0$, tak k matici $B$ existuje inverzná, ktorú budeme označovať $B^{-1}$.
$$\det{B}= \left|\begin{array}{rrrr} 4 & 0\\ 9 &3\\ \end{array} \right|=12\neq0$$
Teda existuje inverzná matica  $B^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice.
$$\left( \begin{array}{rr|rr} 4 & 0& 1&0\\ 9 &3&0&1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \cdot\frac{1}{4} \\ \cdot\frac{1}{3} \\ \end{array} \sim \left(\begin{array}{rr|rr} 1 & 0& \frac{1}{4}&0\\ 3 &1&0&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ -3R1\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & 0& \frac{1}{4}&0\\ 0 &1&-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right)$$
$$B^{-1}=\left( \begin{array}{rr}  \frac{1}{4}&0\\ -\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\ \end{array} \right)$$

Definičný obor funkcie - Príklad 1

Definičný obor funkcie

Pri určovaní definičného oboru funkcie, ktorá je zložená z elementárnych funkcii je nutné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:

• výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule,
• výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule,
• argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula,
• argument funkcie $\arcsin$ a  $\arccos$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.

Príklad 1

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$f: y=\frac{x^2-8}{x^2-x-6}$$

Riešenie:

Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule.
$$x^2-x-6\neq 0$$
Kvadratický výraz prepíšeme na súčin využitím vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice $ax^2+bx+c=0$.
Tieto korene vypočítame podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x^2-x-6= (x-3)(x+2)$$
Teda
$$(x-3)(x+2)\neq 0$$
Súčin je rôzny od nuly práve vtedy, keď sú oba činitele rôzne od nuly.
$$(x-3)\neq 0\ \wedge\ (x+2)\neq 0$$
Symbol $\wedge$ znamená, že podmienky musia platiť súčasne.
$$x\neq 3\ \wedge\ x\neq -2$$
$$D(f)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2, 3\}= (-\infty, -2)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)$$
(Čítame: Definičným oborom funkcie $f$ je množina všetkých reálnych čísel s výnimkou dvojprvkovej množiny obsahujúcej čísla $-2$ a $3$.)

Sústava lineárnych rovníc - Príklad 3

Sústava lineárnych rovníc 

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc nad $\mathbb{R}$.

$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ 2x_1+x_2-5x_3&=&1\\ x_1-x_2-x_3&=&-2\\ \end{array}$$

Riešenie

$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 2&1&-5&1\\ 1&-1&-1&-2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ -2R1\\ -R1\\ \end{array}\sim$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 0&-3&3&-1\\ 0&-3&3&-3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ -R2\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1&2&-4&1\\ 0&-3&3&-1\\ 0&0&0&-2 \\ \end{array} \right)$$
Túto poslednú maticu prepíšeme do sústavy lineárnych rovníc:
$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ -3x_2+3x_3&=&-1\\ 0x_3&=&-2\\ \end{array}$$

Keďže posledná z rovníc výsledného systému je sporná, táto sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. A keďže výsledná sústava lineárnych rovníc je ekvivalentný s pôvodnou sústavou lineárnych rovníc (sústavy sú ekvivalentné lebo výsledná vznikla z pôvodnej iba použitím ekvivalentných úprav) množina ich riešení je rovnaká.

Sústava lineárnych rovníc:
$$\begin{array}{rrr} x_1+2x_2-4x_3&=&1\\ 2x_1+x_2-5x_3&=&1\\ x_1-x_2-x_3&=&-2\\ \end{array}$$
nemá riešenie.

Sústavy lineárnych rovníc - Príklad 1

Sústavy lineárnych rovníc

Riešiť sústavu lineálnych rovníc znamená, hľadať usporiadanú $n$-ticu, ktorá vyhovuje každej zo zadaných rovníc.

Sústava môže mať:

• jediné riešenie v tvare usporiadanej $n$-tice, 
• nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej $n$-tice,
• alebo žiadne riešenie.

Gaussová eliminačná metóda
Riešeniu rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy predchádza prepis sústavy rovníc do tvaru rozšírenej matice. Princíp tejto metódy spočíva v úprave matice na trojuholníkovú resp. lichobežníkovú maticu prostredníctvom ekvivalentných úprav. Pomocou týchto úprav dostávame z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc novú sústavu, ktorej množina riešení je rovnaká. 

Za ekvivalentné úpravy rovníc [EUR] považujeme nasledujúce:

• [EUR1] výmena poradia rovníc v sústave,
• [EUR2] vynásobenie ľubovoľnej rovnice nenulovou konštantou,
• [EUR3] pripočítanie $k$-násobku jednej rovnice k inej rovnici. 

Príklad 1

 Riešte sústavu lineárnych rovníc v $\mathbb{R}$ (v množine reálnych čísel).
  $$\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+ 3x_3&=&1\\ x_1-x_2&=&0\\ -x_1+4x_2+x_3&=&0\\ \end{eqnarray*}$$

Riešenie

Rovnicu prepíšeme do maticového tvaru. Rozšírenú maticu sústavy lineárnych rovníc upravujeme na trojuholníkový (resp. lichobežníkový) tvar.

$$\left( \begin{array}{rrl|r} 2&2&3&1 \\ 1&-1&0&0 \\ -1&4&1&0 \\ \end{array} \right)$$
Najprv vymeníme prvý a druhý riadok matice (EUR1).
$$\left( \begin{array}{rrl|r} 1&-1&0&0 \\ 2&2&3&1 \\ -1&4&1&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ -2R1\\ +R1\\ \end{array}$$
K druhému riadku pripočítame mínus dvojnásobok prvého riadku a k tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (EUR3).
$$\left( \begin{array}{rrl|r} 1&-1&0&0 \\ 0&4&3&1 \\ 0&3&1&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \frac{1}{4}\\ \\ \end{array}$$
Druhý riadok matice vynásobíme nenulovou konštantou (EUR2).
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&-1&0&0 \\ 0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\ 0&3&1&0 \\ \end{array}\right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ -3R2\\ \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1&-1&0&0 \\ 0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \\ 0&0&-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4} \\ \end{array} \right)$$
Prepíšeme poslednú maticu do systému lineárnych rovníc:
$$\begin{eqnarray} x_1-x_2&=&0\\ x_2+\frac{3}{4}x_3&=&\frac{1}{4}\\ -\frac{5}{4}x_3&=&-\frac{3}{4} \end{eqnarray}$$
Táto sústava lineárnych rovníc vznikla z pôvodnej sústavy lineárnych rovníc len použitím ekvivalentných úprav. Riešenie tejto sústavy bude teda rovnaké ako riešenie pôvodnej sústavy lineárnych rovníc.

Z tretej rovnice dostávame
$$\begin{eqnarray*} x_3&=&\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$$
Dosadením známej hodnoty za premennú $x_3$ do druhej rovnice, dostávame $x_2$:
$$\begin{eqnarray*} x_2&=&-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$$
Podobne dosadením známych hodnôt za premenné $x_2$ a $x_3$ do prvej rovnice, dostávame  $x_1$:
$$\begin{eqnarray*} x_1&=&-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc je jediná usporiadaná trojica: $\left[-\frac{1}{5};-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right]$.

Derivácia funkcie

Úloha 4. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}.$$

Riešenie:
 Najprv upravíme funkciu na jednoduchší tvar:
$$f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5} \cdot x^{-2}}{x^4\cdot \sqrt[3]{x^2}}= x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot x^{-2}}{x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}= x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^2\cdot x^4\cdot x^{\frac{2}{3}}}=$$
$$x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{2+4+\frac{2}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{20}{3}}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{5}{4}-\frac{20}{3}}=x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}.$$

Derivujeme funkciu
$$f^{\prime}(x)=\left(x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{65}{12}}\right)^{\prime}=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{65}{12}x^{-\frac{77}{12}}.$$

Determinanty - Príklad 3

Determinanty

Príklad 3

Vypočítajte determinant
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|$$

Riešenie:

Na výpočet tohto determinantu použijeme metódu známu ako rozvoj determinantu podľa riadku (stĺpca). Túto metódu je možné použiť aj na výpočet determinantov z matice typu $3\times3$. Aby sme celý výpočet zjednodušili použijeme vlastnosti determinantov (spomenuté v predchádzajúcom príklade) nato, aby sme vytvorili riadok (stĺpec), ktorý obsahuje čo najväčší počet núl. Tieto úpravy niesú nutné, ale celý výpočet značne urýchlia.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|= \dots = 5 \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & -4& -6&2\\ 0 &9& 10&9\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|=$$
Rozvoj determinantu urobíme podľa prvého stĺpca:
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|+  5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{2+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array} \right|+$$
$$5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{3+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ -4& -6&2\\ 1& -1&1\\ \end{array} \right| +5\cdot 0\cdot \left(-1\right)^{4+1} \left|\begin{array}{rrr} 3& 2&4\\ -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ \end{array} \right|=$$
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|$$
Na výpočet tohto determinantu môžeme použiť opakovaný rozvoj determinantu alebo metódu známu ako Sarussovo pravidlo.
POZOR! Sarussovo pravidlo môžeme použiť LEN na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$!
$$\left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|=$$
$$-4\cdot 10\cdot 1+9\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot (-6)\cdot 9- \left[1\cdot 10\cdot 2+ (-1)\cdot 9\cdot (-4)+1\cdot 9\cdot (-6))\right]=$$
$$-40-18-54-20-36+54=-114$$
Sarussovo pravidlo sme použili na výpočet determinantu z matice typu $3\times 3$, ktorý vznikol ako jeden z medzikrokov pri použití rozvoja. Našim cieľom bolo vypočítať determinant z matice typu $4\times 4$.
Vrátime sa teda o krok späť:
$$5\cdot 1\cdot \left(-1\right)^{1+1} \left|\begin{array}{rrr} -4& -6&2\\ 9& 10&9\\ 1& -1&1\\ \end{array}\right|= 5\cdot (-114)= -570$$

Priebeh funkcie - Príklad 2

 Priebeh funkcie 

Príklad 2

Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nekreslite jej graf.

$$f: y=\frac{2x^3}{x^2-1}$$

Riešenie:

I. Z predpisu funkcie určujeme:

• 1. definičný obor funkcie,
• 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
• 3. priesečníky so súradnicovými osami,
• 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice

1. definičný obor funkcie

Menovateľ výrazu musí byť rôzny od nuly
$$x^2-1\neq 0$$
Najprv zistíme, pre ktoré hodnoty premennej $x$ sa výraz $x^2-1$ rovná nule.
$$x^2-1=0$$
Napíšeme tento výraz v tvare súčinu. Využijeme vzťah: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$$(x-1)(x+1)=0$$
Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak jeden z činiteľov je rovný nule.
Teda : $x=1$ alebo $x=-1$.
Definičným oborom funkcie $f$ je celá množina reálnych čísel okrem čísel $1$ a $-1$ t.j.: 
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;\infty)$$

2. párnosť, nepárnosť funkcie

Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.

Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:

• ak $x\in D(f)$ tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=-f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.

Overme, čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$f(-x)= \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-1}=\frac{-2(x)^3}{(x)^2-1}=-\frac{2x^3}{x^2-1}=-f(x)$$
Keďže definičný obor funkcie je symetrický a funkčná hodnota v bode $-x$ je rovná mínus funkčnej hodnote v bode $x$, je funkcia $f$ nepárna.

3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$

Priesečník s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).

Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$0= \frac{2x^3}{x^2-1}$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak je čitateľ rovný nule t.j., ak
$$\begin{eqnarray*} 0&=& 2x^3\\ 0&=& x\\ \end{eqnarray*}$$

Priesečník s osou $x$ je teda bod so súradnicami $[0,0]$. Priesečník s osou $y$ má súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu $f(0)$ získame dosadením $x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$f(0)= \frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$
Vidíme, že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$), pričom iné priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.

4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice

Priamku, ktorá má rovnicu $x=a$, nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie $f$, ak funkcia $f$ má v čísle $a$ nevlastnú limitu alebo nevlastnú limitu sprava alebo zľava.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{2x^3}{x^2-1}=\infty$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^{-}}\frac{2x^3}{x^2-1}=-\infty$$

Funkcia $f$ má asymptoty bez smernice, ktorých rovnice sú: $x=-1$ a $x=1$.

Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: $y_1=k_1\cdot x + q_1$ a $y_2=k_2\cdot x + q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$ sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$$
$$q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)$$
$$k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}$$
$$q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)$$
$$k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2$$
$$q_1 =\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2-1}=0$$
V plus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_1=2x$
$$k_2= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x(x^2-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3}{x^3-x}=2$$
$$q_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2\cdot x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-2x^3+2x}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-1}=0$$
V mínus nekonečne sa graf funkcie približuje k priamke (asymptote so smernicou), ktorej rovnica je: $y_2=2x$

II. Z prvej derivácia funkcie určujeme

• 5. stacionárne body,
• 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
• 7. extrémy funkcie.

$$f(x)=\frac{2x^3}{x^2-1}$$
Túto funkciu derivujeme ako podiel dvoch funkcií
$$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3)^{\prime}\cdot(x^2-1)-(2x^3)\cdot(x^2-1)^{\prime}}{(x^2-1)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{6x^2\cdot(x^2-1)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}$$

5. stacionárne body

Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}=0$$
$$2x^4-6x^2=0$$
iba čitateľ môže byť rovný nule
$$2x^2(x^2-3)=0=0$$
$$2x^2=0\, \text{alebo}\, x^2-3=0$$
$$x=0\, \text{alebo}\, x=\pm\sqrt{3}$$

Funkcia má tri stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ově súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.



$$f(0)=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$
$$f(\sqrt{3})=\frac{2\cdot \sqrt{3}^3}{\sqrt{3}^2-1}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{2\cdot (-\sqrt{3})^3}{(-\sqrt{3})^2-1}$$

6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)

Funkcia je rastúca (klesajúca)  práve vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime}(x)> 0 \ (f^{\prime}(x)<0)$.
$$\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}>0$$

Funkcia $(x^2-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Keďže podiel má byť kladný, musí platiť:
$$2x^4-6x^2>0$$
$$2x^2(x^2-3)>0$$
Keďže funkcia $2x^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$, aby bol daný súčin kladný, postačuje aby funkcia $x^2-3$ bola kladná.
$$x^2-3>0$$
Tento výraz prepíšeme na súčin dvoch výrazov s použitím vzťahu: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$$\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0$$
Čísla $\sqrt{3}$ a $-\sqrt{3}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na nasledujúce intervaly: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $\left(-\sqrt{3}, -1\right)$, $\left(-1, 1\right)$,$\left(1;\sqrt{3}\right)$, $\left(\sqrt{3}, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

Ďalej je potrebné určiť intervaly, na ktorých funkcia $f$ klesá, teda je potrebné určiť intervaly, kde
$$\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}<0$$
Keďže výraz $\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Výraz bude záporny vtedy, keď $x^2-3<0$. Vidieť, že výraz $x^2-3<0$ je záporný, ak $x\in \left(-\sqrt{3}, -1\right)\cup\left(-1, 1\right)\cup\left(1;\sqrt{3}\right)$.

7. Lokálne extrémy funkcie

Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $-\sqrt{3}$ (lokálne maximum) a v čísle $\sqrt{3}$ (lokálne minimum).

III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:

• 8. intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
• 9. inflexné body funkcie

$$f^{\prime\prime}(x)= (f^{\prime}(x))^{\prime}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \left(\frac{2x^4-6x^2}{(x^2-1)^2}\right)^{\prime}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \frac{(2x^4-6x^2)^{\prime}(x^2-1)^2-(2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)^\prime}{(x^2-1)^4}$$
$$f^{\prime\prime}(x)= \frac{4x^3+12x}{(x^2-1)^3}=\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$

8. Intervaly na ktorých je funkcia konkávna, konvexná

Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}>0$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ kladný.
Podiel je kladný, ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$) , alebo ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-1;0)\cup(1;\infty)$$

Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}<0$$
Výraz $x^2+3$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Chceme určiť interval, na ktorom je výraz $\frac{4x}{(x^2-1)^3}$ záporný.
Podiel je záporný, ak čitateľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,0)$) a menovateľ je kladný (t.j. ak  $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$), alebo ak čitateľ je kladný (t.j. ak $x\in (0;\infty)$) a menovateľ je záporný (t.j. ak  $x\in(-1;1)$).

Funkcia je konkávna,ak
$$x\in (-\infty;-1)\cup(0;1)$$

9. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod, v ktorom funkcia mení priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$f^{\prime\prime}(x)= 0$$
$$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0$$
$$4x(x^2+3)=0$$
Ak $x=0$, tak $4x(x^2+3)=0$.  Výraz $x^2+3$ nenadobudne hodnotu nula pre žiadne číslo definičného oboru funkcie.

Týmto postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $0$.

$$f: y=\frac{2\cdot 0^3}{0^2-1}=\frac{0}{-1}=0$$



10. Graf funkcie

Inverzná matica - Príklad 1

Inverzná matica

 

Príklad 1

Nájdite inverznú maticu k matici $A$ pomocou adjugovanej matice.

$$A= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Inverznú maticu hľadáme pomocou pridruženej (adjungovanej) matice:
$$A^*=\left( \begin{array}{rrr} A_{11} & A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22}&A_{32} \\ A_{13} &A_{23}&A_{33}  \end{array} \right)$$
s využitím vzťahu:
$$A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*$$

Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$\det{(A)}= \left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 &3\\ 1 &-1&0\\ -1 &4&1 \end{array} \right|=5$$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant z matice $M_{ij}$.
Matica  $M_{ij}$ je matica, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.

Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$A_{11}=(-1)^{1+1} \left| \begin{array}{rrr} -1&0\\ 4&1 \end{array} \right|=-1$$

Algebrický doplnok $A_{12}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a druhého stĺpca.
$$A_{12}= (-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rrr} 1 &0\\ -1 &1 \end{array} \right|=-1$$
Podobne vypočítame algebrické doplnky prislúchajúce ostatným indexom.  
$$A_{13}= (-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rrr} 1 &-1\\ -1 &4 \end{array} \right|=3$$
$$A_{21}= (-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ 4&1 \end{array} \right|=10$$
$$A_{22}= (-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr} 2&3\\ -1&1 \end{array} \right|=5$$
$$A_{23}= (-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 \\ -1 &4 \end{array} \right|=-10$$
$$A_{31}= (-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ -1&0\\ \end{array} \right|=3$$
$$A_{32}= (-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rrr} 2 &3\\ 1 &0\\ \end{array} \right|=3$$
$$A_{33}= (-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2\\ 1 &-1\\ \end{array} \right|=-4$$
Adjungovaná matica $A^*$ má tvar
$$A^*=\left( \begin{array}{rrr} -1 &10 &3 \\ -1 &5&3 \\ 3 &-10&-4  \end{array} \right)$$

Inverzná matica k matici $A$ je:
$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{rrr} -1 &10 &3 \\ -1 &5&3 \\ 3 &-10&-4  \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} -\frac{1}{5} &2 &\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5} \end{array} \right)$$

Determinanty - Príklad 2

Determinanty

Pri výpočte príkladu 2 budeme pracovať s niektorými z nasledujúcich vlastností determinantov:

Nech $A$ je štvorcová matica rádu $n\geq 2$.

• [V1.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ výmenou dvoch riadkov (stĺpcov), potom $\det{A} = -\det{B} $.
• [V2.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ násobením nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ konštantou $k$, potom $\det{B} = k \cdot \det{A}$.
• [V3.] Ak matica $B$ vznikla z matice $A$ pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) k nejakému riadku (stĺpcu) matice $A$, potom $\det{B} =\det{A}$.
• [V4.] Ak matica $A^T$ vznikla transponovaním matice $A$, potom $\det{A^T} = \det{A}$.
• [V5.] Ak všetky prvky nejakého riadku (stĺpca) matice $A$ sú rovné $0$, potom $\det{A} = 0$.
• [V6.] Ak matica $A$ je trojuholníková, potom jej determinant je rovný súčinu prvkov na hlavnej uhlopriečke: $\det{A} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{nn}$.
• [V7.] Ak matice $A$ a $B$ sú obidve štvorcové rádu $n$, potom $\det{A} \cdot \det{B}= \det{A} \cdot \det{B}$.

Príklad 2

Vypočítajte determinant
$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|$$

Riešenie:

Najprv vyriešime tento determinant pomocou úpravy na trojuholníkový tvar (šiesta vlastnosť)

$$\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 3& 2&4\\ 10 & 2& -2&10\\ -5 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right| \stackrel{=}{\text{V2}}$$
$$5 \cdot \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 2 & 2& -2&10\\ -1 &6& 8&5\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|\begin{array}{r} \\ -2R1\\ +R1\\ \\ \end{array}\stackrel{=}{\text{V3}} 5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & -4& -6&2\\ 0 &9& 10&9\\ 0 & 1& -1&1\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 2.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{V1}}$$
$$-5\cdot \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1&-1&1\\ 0 & 9&10&9\\ 0 &-4&-6&2\\ \end{array} \right|\begin{array}{r} \\ \\ -9R2\\ 4R2\\ \end{array} = -5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1& -1&1\\ 0 & 0& 19&0\\ 0 & 0& -10&6\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. riadka}}\stackrel{=}{\text{ V1}}$$
$$5\cdot\underbrace{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 2&4\\ 0 & 1& -1&1\\ 0 &0& -10&6\\ 0 & 0& 19&0\\ \end{array} \right|}_{\text{výmena 3.a 4. ståpca}}\stackrel{=}{\text{V1}} -5 \cdot\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3& 4&2\\ 0 & 1& 1&-1\\ 0 & 0& 6&-10\\ 0 & 0& 0&19\\ \end{array} \right|=-5\cdot 1\cdot 1 \cdot 6\cdot 19 =-570$$

Determinanty - Príklad 1

Determinanty

Príklad 1

Vypočítajte determinant
$$\left| \begin{array}{rr} 3 & 4\\ 7 & 5\\ \end{array} \right|$$

Riešenie:

K riešeniu využijeme schému:
$$\left| \begin{array}{rr} a_{11}& a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$
$$\left| \begin{array}{rr} 3 & 4\\ 7 & 5\\ \end{array} \right|=3\cdot 5-4\cdot 7=15-28=-13$$

Matice, maticové mnohočleny - Príklad 9

Matice, maticové mnohočleny

Príklad 9

Vypočítajte $f(A)$, ak

$$f(x)=x^2-5x+3,\, \text{kde}\, A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1 &-1&0 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Maticové mnohočleny sú také mnohočleny (polynómy), kde namiesto premennej $x$ figuruje matica.

Prepíšeme zadaný mnohočlen pomocou matice $A$.
$$f(A)=A^2-5A^1+3A^0$$

Zo zápisu je vidieť, že s maticou $A$ uskutočníme nasledujúce operácie:
- umocniť maticu,
- vynásobiť matice reálnym číslom,
- sčítať vzniknuté matice.

Umocniť maticu, znamená vynásobiť navzájom dve identické matice. Pri takomto násobení sa zachováva typ matice. Umocňovať je možné iba štvorcové matice.
Keďže matica $A$ je štvorcová, môžeme ju umocniť:
$$A^2=A\cdot A= \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1 &-1&0 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1&-1&0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrr} 8 & 2 & 4\\ 11 &2&5\\ -1&0&-1 \end{array} \right)$$
Násobiť maticu $A$ číslom znamená, vynásobiť každý prvok tejto matice daným číslom.
$$-5\cdot A= -5\cdot \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1\\ 3 &1&2\\ 1&-1&0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} -10 & -5 & -5\\ -15 &-5&-10\\ -5&5&0 \end{array} \right)$$
Matica umocnená na nultú je jednotková matica rovnakého typu ako matica $A$.

$$3\cdot A^0= 3\cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 &1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0\\ 0 &3&0\\ 0&0&3 \end{array} \right)$$
Posledným krokom je samotné sčítanie matíc.
Pripomíname, že sčítavať môžeme len matice rovnakého typu (čo je v našom prípade určite splnené, keďže všetky operácie sa vykonávali len s maticou $A$). Matice sčítavame tak, že sčítame prvky na rovnakých pozíciách.
$$f(A)=\left( \begin{array}{rrr} 8 & 2 & 4\\ 11 &2&5\\ -1&0&-1 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{rrr} -10&-5&-5\\ -15 &-5&-10\\ -5&5&0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 3&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{array} \right)=$$
$$\left( \begin{array}{rrr} 1&-3&-1\\ -4&0&-5\\ -6&5&2 \end{array} \right)$$

Matice, hodnosť matíc - Príklad 8

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 8

 

Určte hodnosť matice $C$, kde $p\in \mathbb{R}$ je parameter:
$$C=\left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ p & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Hodnosť matice $C$ je maximálne $3$. Pomocou ekvivalentných úprav (úpravy E1 až E4) upravíme maticu $C$ na trojuholníkový tvar.
$$\left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ p & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right)$$
Prvou úpravou je výmena stĺpcov: tretí stĺpec zameníme za prvý (úprava E1).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 15 & -14 & p \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right)$$
Ďalšou úpravou je pripočítanie vhodného násoboku prvého riadku matice k druhému a následne tretiemu riadku tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprava E3).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 15 & -14 & p \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ -15R1\\ +3R1 \end{array}$$
Následne tretí riadok matice vynásobíme reálnym číslom (úprava E2).
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & -4 & 10 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \cdot 4 \end{array}$$
Poslednou úpravou je pripočítanie druhého riadku k tretiemu riadku (úprava E3). 
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 &-16 & 40 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ +R2 \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & p-5 \end{array} \right)$$
Diskusia:
Ak $p-5=0$ (a teda ak $p=5$), tak matica má tvar:
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $2$.
Teda:
Ak $p= 5$, tak hodnosť matice $C$ je $2$ (zapisujeme $rank(C)=2$).

Ak $p-5\neq 0$ (a teda ak $p\neq 5$), tak matica má tvar:
$$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 16 & -45+p \\ 0 & 0 & p-5 \end{array} \right)$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $3$.
Ak $p\neq 5$, tak hodnosť matice $C$ je $3$ (zapisujeme $rank(C)=3$).

Matice, hodnosť matíc - Príklad 7

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 7

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $B$:
$$B=\left( \begin{array}{rrrrr} 2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 & 1 & 8 & 2 \end{array} \right)$$

Riešenie:

Podobne ako v predchádzajúcom príklade, na výpočet hodnosti matice $B$ použijeme ekvivalentné úpravy.

Hodnosť matice je počet nenulových riadkov matice upravenej na trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar.

Hodnosť matice $B$ môže byť maximálne 3, keďže matica má 3 riadky.
$$B=\left( \begin{array}{rrrrr} 2 & -1 & 3 &-2& 4 \\ 4 &-2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 &-1 &1 & 8 & 2 \end{array} \right)$$
K druhému a tretiemu riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprave E3). 
$$\left( \begin{array}{rrrrr} 2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 &1 & 8 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ -2R1\\ -1R2 \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrrrr} 2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\ 0 &0 & -2 & 10 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ -2R2 \end{array}$$
$$\left( \begin{array}{rrrrr} 2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\ 0 &0 &0 & 0 &0\\ \end{array} \right)$$

Počet nenulových riadkov matice $B$ je $2$. Hodnosť matice $B$ je $rank(B)=2$.