Maticová rovnica - Príklad 1

Maticová rovnica

Príklad 1

Nájdite všetky matice $X$ spĺňajúce danú maticovú rovnicu
$$ X\cdot A=B\cdot C^T,$$
ak $A=\left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array} \right)$, $B=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)$, $C=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)$

Riešenie

$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$

Najprv vypočítame pravú stranu danej maticovej rovnice.
Matica $B$ je typu $2\times 3$. Matica $C$ je typu $2\times 3$. Transponovaná matica k matici $C$ je typu $3\times 2$.
$$C^T= \left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)^T=\left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)$$
Výsledkom násobenia matice typu $2\times 3$ s maticou typu $3\times 2$ je matica typu $2\times 2$.

$B\cdot C^T=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$

$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$
Z rovnice vyjadríme $X$. Pozor: Delenie matíc nie je definovaná operácia.
Využijeme násobenie inverznou maticou k matic $A$.
$$ X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$
$$ X\cdot I=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$ 
$$ X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$

Matica $ A^{-1}$ je inverzná matica k matici $A$.

Inverznú maticu k matici $A$ vypočítame pomocou:

• pridruženej (adjungovanej) matice,
• blokovej matice.

Zvolíme si postup výpočtu inverznej matice pomocou pridruženej (adjungovanej) matice.
$$
A^*=\left( \begin{array}{rr}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} &A_{22}\\
 \end{array} \right)
$$
s využitím vzťahu:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*
$$
Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$
\det{(A)}=
\left| \begin{array}{rrr}
-2 & 1 \\
-7 & 3\\
\end{array} \right|=1
$$
$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant matice $M_{ij}$, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.
Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$
A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 3 = 3
$$
ďalšie algebrické doplnky:
$$
A_{12}=(-1)^{1+3}\cdot (-7) = 7
$$
$$
A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot 1 = -1
$$
$$
A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot (-2) = -2
$$
Dosadením do vzťahu:
$$ A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^* $$
dostávame inverznú maticu k matici $A$
$$ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr} 3 & -1 \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
Maticu $X$ vypočítame pomocou "obyčajného" násobenie matíc:
$$ X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$ 
$$ X=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -1  \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
$$ X=\left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right) $$.

Iný spôsob výpočtu matice $X$ bez vyučitia inverznej matice:
$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$
kde
$$ X\cdot \left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Matica $X$ je typu  $2\times 2$. Všeobecne ju môžeme zapísať
$$ X=\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)\cdot
\left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Vynásobíme matice na ľavej strane rovnice
$$\left( \begin{array}{rr}-2 x_1-7 x_2 & x_1+3 x_2  \\ -2x_3-7 x_4 & x_3+3x_4\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Dve matice rovnakého typu sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú čísla na rovnakých pozíciách. T.j.
$$-2 x_1-7 x_2=6$$
$$ x_1+3 x_2=9$$
$$-2x_3-7 x_4 =-4$$
$$x_3+3x_4=10 $$
Výsledkom porovnania dvoch matíc sú dve sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi.
$$
\begin{array}{rr}
-2 x_1-7 x_2&=&6\\
x_1+3 x_2&=&9\\
\end{array}
$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_1;x_2]=[81;-24]$.
$$
\begin{array}{rr}
-2x_3-7 x_4 &=&-4\\
x_3+3x_4&=&10\\
\end{array}
$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_3;x_4]=[58;-16]$.

Matica $$ X= \left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right) $$.
je riešením maticovej rovnice $ X\cdot A=B\cdot C^T$.