Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 2

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Cramerovo pravidlo
Túto metódu je možné použiť pri riešení ľubovoľného systému rovníc. Hlavná myšlienka tejto metódy spočíva v riešení determinantov.
Už pri riešení sústavy štyroch rovníc o štyroch neznámych je potrebné vypočítať celkovo päť determinantov rádu $\displaystyle 4\times 4$. Neznamená to však, že túto metódu nesmieme použiť pri riešení sústavy viacerých lineárnych rovníc o viacerých neznámych, ale často je tento proces riešenia zložitejší ako riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovov eliminačnou metódou.

Príklad 2

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
2x+y&= &5\\
x+3z&= &16\\
5y-z&= &10\\
\end{array}
$$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
2& 1&0&5\\
1 & 0&3&16\\
0 & 5&-1&10\\
\end{array} \right)
$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $ \left[x;y; z \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$
D= \left|
\begin{array}{rrr}
2& 1&0\\
1 & 0&3\\
0 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29
$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x$, $y$ a $z$ vypočítame využitím vzťahov:
$$
x=\frac{D_{x}}{D},
$$
$$
y=\frac{D_{y}}{D},
$$
$$
z=\frac{D_{z}}{D},
$$
kde determinant $D_{x}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{y}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $y$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{z}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $z$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$
D_x= \left|
\begin{array}{rrr}
5& 1&0\\
16 & 0&3\\
10 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29
$$
$$
D_y= \left|
\begin{array}{rrr}
2& 5&0\\
1 & 16&3\\
0 & 10&-1\\ \end{array}\right| =-87
$$
$$
D_z= \left|
\begin{array}{rrr}
2& 1&5\\
1 & 0&16\\
0 & 5&10\\ \end{array}\right| =-145
$$
Samotné riešenie sústavy:
$$
x=\frac{D_{x}}{D}= \frac{-29}{-29}=1
$$
$$
y=\frac{D_{y}}{D}= \frac{-87}{-29}=3
$$
$$
z=\frac{D_{z}}{D}= \frac{-145}{-29}=5
$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $ \left[1;3;5 \right]$.