Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 2

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Cramerovo pravidlo
Túto metódu je možné použiť pri riešení ľubovoľného systému rovníc. Hlavná myšlienka tejto metódy spočíva v riešení determinantov.
Už pri riešení sústavy štyroch rovníc o štyroch neznámych je potrebné vypočítať celkovo päť determinantov rádu $\displaystyle 4\times 4$. Neznamená to však, že túto metódu nesmieme použiť pri riešení sústavy viacerých lineárnych rovníc o viacerých neznámych, ale často je tento proces riešenia zložitejší ako riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovov eliminačnou metódou.

Príklad 2

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$\begin{array}{rrr} 2x+y&= &5\\ x+3z&= &16\\ 5y-z&= &10\\ \end{array}$$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 2& 1&0&5\\ 1 & 0&3&16\\ 0 & 5&-1&10\\ \end{array} \right)$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $\left[x;y; z \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$D= \left| \begin{array}{rrr} 2& 1&0\\ 1 & 0&3\\ 0 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x$, $y$ a $z$ vypočítame využitím vzťahov:
$$x=\frac{D_{x}}{D},$$
$$y=\frac{D_{y}}{D},$$
$$z=\frac{D_{z}}{D},$$
kde determinant $D_{x}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{y}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $y$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{z}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $z$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$D_x= \left| \begin{array}{rrr} 5& 1&0\\ 16 & 0&3\\ 10 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29$$
$$D_y= \left| \begin{array}{rrr} 2& 5&0\\ 1 & 16&3\\ 0 & 10&-1\\ \end{array}\right| =-87$$
$$D_z= \left| \begin{array}{rrr} 2& 1&5\\ 1 & 0&16\\ 0 & 5&10\\ \end{array}\right| =-145$$
Samotné riešenie sústavy:
$$x=\frac{D_{x}}{D}= \frac{-29}{-29}=1$$
$$y=\frac{D_{y}}{D}= \frac{-87}{-29}=3$$
$$z=\frac{D_{z}}{D}= \frac{-145}{-29}=5$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $\left[1;3;5 \right]$.