Loading web-font TeX/Math/Italic

pondelok 5. novembra 2012

Priebeh funkcie - Príklad 1

 Priebeh funkcie 


Príklad 1


Vyšetrite priebeh funkcie f a nakreslite jej graf.

f: y=16x(x-1)^3


Riešenie:

I. Z predpisu funkcie určujeme:
  • 1. definičný obor funkcie,
  • 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
  • 3. priesečníky so súradnicovými osami,
  • 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice

1. definičný obor funkcie

D(f)=\mathrm{R}


2. párnosť, nepárnosť funkcie

Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:
  • Ak x\in D(f), tak -x\in D(f), t.j. definičný obor je symetrický.
  • f(-x)=f(x) , t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi o_y.
Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:
  • Ak x\in D(f), tak -x\in D(f), t.j. definičný obor je symetrický.
  • f(-x)=-f(x) , t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu [0,0].

Keďže definičný obor je symetrický, prvá podmienka je splnená. Ostáva overiť druhú podmienku a teda čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie f v bode -x;
f(-x)=16(-x)(-x-1)^3=16x(x+1)

Funkcia nie je ani párna ani nepárna.

3. priesečníky s osou x a osou y

Priesečník s osou x (osou y) je bod, v ktorom funkcia f pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice [x,0] (resp. [0,y]).

Najprv určíme priesečník s osou x, teda [x,0]. Hľadaný bod x spĺňa rovnosť:
 0=16x(x-1)^3

Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak 
\begin{array}{rclcrcl} 16x&=& 0 &\text{alebo}& (x-1)^3&=&0 \\ x&=& 0& &x&=& 1\\ && & &x&=& 0\\ \end{array}


Priesečníky so súradnicovou osou x sú body so súradnicami [0,0] a [1,0].

Priesečník  so súradnicovou osou y má súradnice [0,f(0)], kde funkčnú hodnotu v čísle 0 získame dosadením x=0 do predpisu funkcie f.
f(0)= 16\cdot 0\cdot (0-1)^3

Vidíme, že priesečník s osou y je zároveň aj priesečníkom s osou x (graf funkcie f pretne súradnicové osi v bode [0,0]). Iné priesečníky graf funkcie f so súradnicovými osami nemá.

4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice

Funkcia f nemá asymptoty bez smernice, keďže nemá žiadne body nespojitosti.

Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: y=k_1\cdot x + q_1 a y=k_2\cdot x + q_2, kde k_1, k_2 (označované tiež ako smernice priamok) a q_1, q_2 sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
\begin{array}{ccl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)\\ \end{array}


\begin{array}{ccl} k_2&= &\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)\\ \end{array}

V našom prípade asymtoty so smernicou neexistujú, lebo
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{16x(x-1)^3}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}16(x-1)^3=\infty


II. Z prvej derivácia funkcie určujeme
  • 5. stacionárne body,
  • 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
  • 7. extrémy funkcie.
f(x)=16x(x-1)^3

Túto funkciu derivujeme ako súčin dvoch funkcií
\begin{array}{ccl} f^{\prime}(x)&=&(16x)^{\prime}\cdot (x-1)^3+(16x)\cdot ((x-1)^3)^{\prime}\\ f^{\prime}(x)&=&(16)\cdot (x-1)^3+16x\cdot 3(x-1)^2=16(x-1)^2(4x-1)\\ \end{array}


5. stacionárne body

Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie f(x), v ktorých je f^{\prime}(x)= 0.
Sú to také body z definičného oboru funkcie, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
\begin{array}{rclcrcl} 16(x-1)^2&=&0&\text{alebo}&4x-1&=&0\\ (x-1)^2&=&0&&x&=&\frac{1}{4}\\ x&=&1&&&&\\ \end{array}


Funkcia má dva stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie f, je nutné dopočítať aj y-ové súradnice týchto stacionárnych bodov, teda
\begin{array}{ccl} f(1)&=&16(1-1)^3=0\\ f\left(\frac{1}{4}\right)&=&16\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)^3\\ \end{array}


6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)

Funkcia je rastúca práve vtedy a len vtedy, ak f^{\prime}(x)> 0.
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)>0

Čísla 1 a \frac{1}{4} rozdeľujú definičný obor funkcie f(x) na nasledujúce tri intervaly: \left(-\infty,  \frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{4}, 1\right), \left(1, \infty\right), v ktorých vyšetríme znamienko prvej derivácie.
Funkcia 16(x-1)^2 je kladná pre ľubovoľné x \in D(f). Súčin je kladný, ak platiť:
\begin{array}{rcl} 4x-1&>&0\\ x&>&\frac{1}{4}\\ \end{array}

Keďže prvá derivácia je kladná v intervaloch \left(\frac{1}{4}, 1\right) a \left(1, \infty\right), tak funkcia f v týchto intervaloch rastie. 

Ďalej je potrebné určiť intervaly, v ktorých funkcia f klesá. Funkcia je klesajúca práve vtedy a len vtedy, ak f^{\prime}(x)<0).
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)<0

Keďže výraz 16(x-1)^2 je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie f.
Prvá derivácia bude záporná vtedy, keď 4x-1<0.

Keďže prvá derivácia je záporná v intervale \left(-\infty, \frac{1}{4}\right), tak funkcia f v tomto intervale klesá.

7. Lokálne extrémy funkcie

Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle \frac{1}{4}

III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:
  • 8. intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
  • 9. inflexné body funkcie
\begin{array}{ccl} f^{\prime\prime}(x)&= &(f^{\prime}(x))^{\prime}\\ f^{\prime\prime}(x)&= &\left(16(x-1)^2(4x-1)\right)^{\prime}\\ f^{\prime\prime}(x)&=&32(x-1)(4x-1)+64(x-1)^2=64(x-1)(3x-2)\\ \end{array}


8. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod z definičného oboru funkcie, v ktorom funkcia mení svoj priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
\begin{array}{lcl} f^{\prime\prime}(x)&=& 0\\ 64(x-1)(3x-2)&=&0\\ \end{array}


\begin{array}{rclcrcl} 64(x-1)&=&0&\text{alebo}&3x-2&=&0\\ x-1&=&0&&3x&=&2\\ x&=&1&&x&=&\frac{2}{3}\\ \end{array}


Týmto postupom sme vypočítali x-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie f, je nutné dopočítať aj y-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie f  za x dosadíme číslo 1 a číslo \frac{2}{3}.

9. Intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná

Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak f^{\prime\prime}(x)>0 t.j.
64(x-1)(3x-2)>0

Chceme určiť intervaly, v ktorých je výraz 64(x-1)(3x-2) kladný.
Súčin je kladný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in (1;\infty) a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak  x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in (-\infty,1)) a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)).

Funkcia je konvexná, ak
x\in (-\infty;\frac{2}{3}) \cup (1;\infty).


Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak f^{\prime\prime}(x)<0 t.j.
64(x-1)(3x-2)<0

Súčin je záporný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in (1;\infty) a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak  x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in (-\infty,1)) a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak  x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right))

Funkcia je konkávna, ak
x\in \left(\frac{2}{3};1\right)




10. Graf funkcie


1 komentár:

  1. 2.derivácia má byť 32(x-1)(6x-3), tým pádom aj inflexný bod sa mení na 1/2

    OdpovedaťOdstrániť