Priebeh funkcie
Príklad 1
Vyšetrite priebeh funkcie f a nakreslite jej graf.
f: y=16x(x-1)^3
Riešenie:
I. Z predpisu funkcie určujeme:- 1. definičný obor funkcie,
- 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
- 3. priesečníky so súradnicovými osami,
- 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice
1. definičný obor funkcie
D(f)=\mathrm{R}
2. párnosť, nepárnosť funkcie
Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:
- Ak x\in D(f), tak -x\in D(f), t.j. definičný obor je symetrický.
- f(-x)=f(x) , t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi o_y.
- Ak x\in D(f), tak -x\in D(f), t.j. definičný obor je symetrický.
- f(-x)=-f(x) , t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu [0,0].
Keďže definičný obor je symetrický, prvá podmienka je splnená. Ostáva overiť druhú podmienku a teda čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie f v bode -x;
f(-x)=16(-x)(-x-1)^3=16x(x+1)
Funkcia nie je ani párna ani nepárna.
3. priesečníky s osou x a osou y
Priesečník s osou x (osou y) je bod, v ktorom funkcia f pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice [x,0] (resp. [0,y]).
Najprv určíme priesečník s osou x, teda [x,0]. Hľadaný bod x spĺňa rovnosť:
0=16x(x-1)^3
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak
\begin{array}{rclcrcl} 16x&=& 0 &\text{alebo}& (x-1)^3&=&0 \\ x&=& 0& &x&=& 1\\ && & &x&=& 0\\ \end{array}
Priesečníky so súradnicovou osou x sú body so súradnicami [0,0] a [1,0].
Priesečník so súradnicovou osou y má súradnice [0,f(0)], kde funkčnú hodnotu v čísle 0 získame dosadením x=0 do predpisu funkcie f.
f(0)= 16\cdot 0\cdot (0-1)^3
Vidíme, že priesečník s osou y je zároveň aj priesečníkom s osou x (graf funkcie f pretne súradnicové osi v bode [0,0]). Iné priesečníky graf funkcie f so súradnicovými osami nemá.
4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice
Funkcia f nemá asymptoty bez smernice, keďže nemá žiadne body nespojitosti.
Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: y=k_1\cdot x + q_1 a y=k_2\cdot x + q_2, kde k_1, k_2 (označované tiež ako smernice priamok) a q_1, q_2 sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
\begin{array}{ccl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)\\ \end{array}
\begin{array}{ccl} k_2&= &\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)\\ \end{array}
V našom prípade asymtoty so smernicou neexistujú, lebo
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{16x(x-1)^3}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}16(x-1)^3=\infty
II. Z prvej derivácia funkcie určujeme
- 5. stacionárne body,
- 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
- 7. extrémy funkcie.
Túto funkciu derivujeme ako súčin dvoch funkcií
\begin{array}{ccl} f^{\prime}(x)&=&(16x)^{\prime}\cdot (x-1)^3+(16x)\cdot ((x-1)^3)^{\prime}\\ f^{\prime}(x)&=&(16)\cdot (x-1)^3+16x\cdot 3(x-1)^2=16(x-1)^2(4x-1)\\ \end{array}
5. stacionárne body
Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie f(x), v ktorých je f^{\prime}(x)= 0.
Sú to také body z definičného oboru funkcie, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
\begin{array}{rclcrcl} 16(x-1)^2&=&0&\text{alebo}&4x-1&=&0\\ (x-1)^2&=&0&&x&=&\frac{1}{4}\\ x&=&1&&&&\\ \end{array}
Funkcia má dva stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie f, je nutné dopočítať aj y-ové súradnice týchto stacionárnych bodov, teda
\begin{array}{ccl} f(1)&=&16(1-1)^3=0\\ f\left(\frac{1}{4}\right)&=&16\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)^3\\ \end{array}
6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)
Funkcia je rastúca práve vtedy a len vtedy, ak f^{\prime}(x)> 0.
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)>0
Čísla 1 a \frac{1}{4} rozdeľujú definičný obor funkcie f(x) na nasledujúce tri intervaly: \left(-\infty, \frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{4}, 1\right), \left(1, \infty\right), v ktorých vyšetríme znamienko prvej derivácie.
Funkcia 16(x-1)^2 je kladná pre ľubovoľné x \in D(f). Súčin je kladný, ak platiť:
\begin{array}{rcl} 4x-1&>&0\\ x&>&\frac{1}{4}\\ \end{array}
Keďže prvá derivácia je kladná v intervaloch \left(\frac{1}{4}, 1\right) a \left(1, \infty\right), tak funkcia f v týchto intervaloch rastie.
Ďalej je potrebné určiť intervaly, v ktorých funkcia f klesá. Funkcia je klesajúca práve vtedy a len vtedy, ak f^{\prime}(x)<0).
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)<0
Keďže výraz 16(x-1)^2 je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie f.
Prvá derivácia bude záporná vtedy, keď 4x-1<0.
Keďže prvá derivácia je záporná v intervale \left(-\infty, \frac{1}{4}\right), tak funkcia f v tomto intervale klesá.
7. Lokálne extrémy funkcie
Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle \frac{1}{4}
III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:
- 8. intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
- 9. inflexné body funkcie
8. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod z definičného oboru funkcie, v ktorom funkcia mení svoj priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
\begin{array}{lcl} f^{\prime\prime}(x)&=& 0\\ 64(x-1)(3x-2)&=&0\\ \end{array}
\begin{array}{rclcrcl} 64(x-1)&=&0&\text{alebo}&3x-2&=&0\\ x-1&=&0&&3x&=&2\\ x&=&1&&x&=&\frac{2}{3}\\ \end{array}
Týmto postupom sme vypočítali x-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie f, je nutné dopočítať aj y-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie f za x dosadíme číslo 1 a číslo \frac{2}{3}.
9. Intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná
Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak f^{\prime\prime}(x)>0 t.j.
64(x-1)(3x-2)>0
Chceme určiť intervaly, v ktorých je výraz 64(x-1)(3x-2) kladný.
Súčin je kladný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in (1;\infty) a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in (-\infty,1)) a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)).
Funkcia je konvexná, ak
x\in (-\infty;\frac{2}{3}) \cup (1;\infty).
Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak f^{\prime\prime}(x)<0 t.j.
64(x-1)(3x-2)<0
Súčin je záporný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in (1;\infty) a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak x\in (-\infty,1)) a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right))
Funkcia je konkávna, ak
x\in \left(\frac{2}{3};1\right)
10. Graf funkcie
2.derivácia má byť 32(x-1)(6x-3), tým pádom aj inflexný bod sa mení na 1/2
OdpovedaťOdstrániť