Determinanty - Príklad 6

Determinanty

Príklad 6

Vypočítajte nasledujúci determinant:
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 1 & 2& 3&4\\ 1 &3& 6&10\\ 1& 4& 10&20\\ \end{array} \right|$$

Riešenie

$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 1 & 2& 3&4\\ 1 &3& 6&10\\ 1& 4& 10&20\\ \end{array} \right|=$$
Mínus jeden násobok prvého riadku pripočítame postupne k riadku dva, tri a štyri. Dostávame determinant z matice $4\times 4$, ktorý má v prvom riadku, v prvom stĺpci číslo 1 a pod nim samé nuly.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &2& 5&9\\ 0& 3& 9&19\\ \end{array} \right|=$$
Ďalej by sme mohli pokračovať:

• rozvojom podľa prvého stĺpca,
• úpravou matice na hornú trojuholníkovú maticu.

Zvolíme si úpravu na hornú trojuholníkovú maticu.
Horná trojuholníková matica je taká matica, ktorá má rôzne čísla na hlavnej diagonále a nad ňou a pod hlavnou diagonálou iba nuly.
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus dvojnásobok riadku dva a k štvrtému riadku pripočítame mínus trojnásobok riadku dva.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &0&1&3\\ 0& 0& 3&10\\ \end{array} \right|=$$
K štvrtému riadku matice pripočítame mínus trojnásobok riadku tri.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &0&1&3\\ 0& 0& 0&1\\ \end{array} \right|= 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1$$