Processing math: 100%

štvrtok 8. novembra 2012

Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 5

Sústava lineárnych algebrických rovníc


Príklad 5


Riešte sústavu lineárnych rovníc
\begin{eqnarray*}  px_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+px_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+px_3&=&1\\ \end{eqnarray*}

Riešenie

Sústavu lineárnych algebrických rovníc budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla.
Najprv prepíšeme sústavu rovníc do maticového tvaru:
\left( \begin{array}{rrr|r} p& 1& -1&1\\ 1& p& -1&1\\ -1 &1& p&1\\ \end{array} \right)

Následne vypočítame determinant z matice bez pravej strany. Ak je tento determinant rôzny od nuly, tak môžeme ďalej pokračovať vo výpočte pomocou Cramerovho pravidla.
D= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& -1\\ 1& p& -1\\ -1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^3-1+1-p+p-p=p^3-p=p(p^2-1)
D\neq 0
p(p^2-1) \neq 0
Výraz  p^2-1 napíšeme v tvare súčinu podľa vzťahu: a^2-b^2=(a+b)(a-b)
p(p-1)(p+1) \neq 0
Súčin je rôzny od nuly vtedy a len vtedy, ak je každý z činiteľov rôzny od nuly.
p \neq 0 \wedge p+1 \neq 0 \wedge p-1 \neq 0
Pre p\in \mathrm{R}-\{-1,0,1\} riešime sústavu lineárnych algebrických rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
D_{x_1}= \left| \begin{array}{rrr} 1& 1& -1\\ 1& p& -1\\ 1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^2-1-1+p+1-p=p^2-1
x_1=\frac{D_{x_1}}{D}
x_1=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}
D_{x_2}= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^2-1+1-1+p-p=p^2-1
x_2=\frac{D_{x_2}}{D}
x_2=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}
D_{x_3}= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& 1\\ 1& p& 1\\ -1 &1& 1\\ \end{array} \right|= p^2+1-1+p-p-1=p^2-1
x_3=\frac{D_{x_3}}{D}
x_3=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}
Ak p\neq 0 a zároveň je p\neq \pm 1, tak riešením sústavy je usporiadaná trojica: \left[\frac{1}{p};\frac{1}{p};\frac{1}{p}\right].

Ak p=0, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
\begin{eqnarray*}  0x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+0x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+0x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}
Označme:
A=\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& -1\\ 1& 0& -1\\ -1 &1& 0\\ \end{array} \right), \, A^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)
O počte riešení rozhodneme na základe Frobeniovej vety. Preto je nutné zistiť hodnosť matice A a matice A^*. Maticu A^* upravujeme na trojuholníkový resp. lichobežníkový tvar pomocou ekvivalentných úprav.
\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ -1&1& 0&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ 0& 1& -1&2\\ \end{array} \right)\sim
\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ 0& 0& 0&1\\ \end{array} \right)
Hodnosť matice A je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán A^* je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.

Ak p=1, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
\begin{eqnarray*}  1x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+1x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+1x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}
Označme:
B=\left( \begin{array}{rrr} 1& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1 &1& 1\\ \end{array} \right), \, B^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 1& 1& -1&1\\ -1 &1& 1&1\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 1& 1& -1&1\\ -1 &1& 1&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 0& 0&0\\ 0& 2& 0&2\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 2& 0&2\\ 0& 0& 0&0\\ \end{array} \right)
Hodnosť matice B je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán B^* je 2.Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice: [1-t;1; t], kde t\in \mathrm{R}.
Toto riešenie vypočítame, ak maticu \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 2& 0&2\\ 0& 0& 0&0\\ \end{array} \right) prepíšeme znova do tvaru systému rovníc: \begin{eqnarray*}  1x_1+0x_2-x_3&=&1\\ 0x_1+2x_2+0x_3&=&2\\ 0x_1+0x_2+0x_3&=&0\\ \end{eqnarray*}
Jedna premenná je voľná. Nech je to x_3. Zvoľme za túto premennú parameter t t.j. x_3=t. Z druhej rovnice vyjadríme x_2 t.j. x_2=1 a následne z prvej rovnice x_1 t.j. x_1=1-t, kde t\in \mathrm{R}.

Ak p=-1, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
\begin{eqnarray*}  -1x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_-1x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2-1x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}
Označme:
C=\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& -1\\ 1& 0& -1\\ -1 &1& 0\\ \end{array} \right), \, C^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rrr|r} -1& 1& -1&1\\ 1& -1& -1&1\\ -1 &1& -1&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 0& 0& -2&2\\ 0&0& 0&2\\ \end{array} \right)
Hodnosť matice C je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán C^* je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.

4 komentáre:

  1. Dobrý deň. Výsledok to síce neovplyvňuje ale nemali byť v Dx3 v poslednom stĺpci iba kladné 1?

    OdpovedaťOdstrániť
  2. Mate pravdu, dakujem za upozornenie.

    OdpovedaťOdstrániť
  3. Neviem či to mám zle, ale pri výpočte ak p=1 teda matica B,pri počítaní hodnosti v prvom riadku nezostáva 1 namiesto tej jednej 0? tým pádom to ovplyvní aj výsledok [t;1;t] a teda 1 nebude 1-t ale len t.

    OdpovedaťOdstrániť
  4. A takisto pri matici C, ak p=-1, prvý čln matice je -1 a nie 1 to aj tak neovplyvní výsledok ale ak som to robila správne a teda ku druhému riadku prirátam prvý a od tretieho prvý odrátam víde že rank C = rankC* a to je 2 a výsledok je tým pádom [t;t;-1]

    OdpovedaťOdstrániť