Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 5

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 5

Riešte sústavu lineárnych rovníc
\begin{eqnarray*}
 px_1+x_2-x_3&=&1\\
x_1+px_2-x_3&=&1\\
-x_1+x_2+px_3&=&1\\
\end{eqnarray*}

Riešenie

Sústavu lineárnych algebrických rovníc budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla.
Najprv prepíšeme sústavu rovníc do maticového tvaru:
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
p& 1& -1&1\\
1& p& -1&1\\
-1 &1& p&1\\
\end{array} \right)
$$

Následne vypočítame determinant z matice bez pravej strany. Ak je tento determinant rôzny od nuly, tak môžeme ďalej pokračovať vo výpočte pomocou Cramerovho pravidla.
$$
D= \left|
\begin{array}{rrr}
p& 1& -1\\
1& p& -1\\
-1 &1& p\\
\end{array} \right|=p^3-1+1-p+p-p=p^3-p=p(p^2-1)
$$
$$D\neq 0$$
$$p(p^2-1) \neq 0$$
Výraz  $p^2-1$ napíšeme v tvare súčinu podľa vzťahu: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$$p(p-1)(p+1) \neq 0$$
Súčin je rôzny od nuly vtedy a len vtedy, ak je každý z činiteľov rôzny od nuly.
$$p \neq 0 \wedge p+1 \neq 0 \wedge p-1 \neq 0$$
Pre $p\in \mathrm{R}-\{-1,0,1\}$ riešime sústavu lineárnych algebrických rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
$$
D_{x_1}= \left|
\begin{array}{rrr}
1& 1& -1\\
1& p& -1\\
1 &1& p\\
\end{array} \right|=p^2-1-1+p+1-p=p^2-1
$$
$$x_1=\frac{D_{x_1}}{D}$$
$$x_1=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
$$
D_{x_2}= \left|
\begin{array}{rrr}
p& 1& -1\\
1& 1& -1\\
-1 &1& p\\
\end{array} \right|=p^2-1+1-1+p-p=p^2-1
$$
$$x_2=\frac{D_{x_2}}{D}$$
$$x_2=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
$$
D_{x_3}= \left|
\begin{array}{rrr}
p& 1& 1\\
1& p& 1\\
-1 &1& 1\\
\end{array} \right|= p^2+1-1+p-p-1=p^2-1
$$
$$x_3=\frac{D_{x_3}}{D}$$
$$x_3=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
Ak $p\neq 0$ a zároveň je $p\neq \pm 1$, tak riešením sústavy je usporiadaná trojica: $\left[\frac{1}{p};\frac{1}{p};\frac{1}{p}\right]$.

Ak $p=0$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$
\begin{eqnarray*}
 0x_1+x_2-x_3&=&1\\
x_1+0x_2-x_3&=&1\\
-x_1+x_2+0x_3&=&1\\
\end{eqnarray*}
$$
Označme:
$$A=\left(
\begin{array}{rrr}
0& 1& -1\\
1& 0& -1\\
-1 &1& 0\\
\end{array} \right), \,
A^*=\left(
\begin{array}{rrr|r}
0& 1& -1&1\\
1& 0& -1&1\\
-1 &1& 0&1\\
\end{array} \right)
$$
O počte riešení rozhodneme na základe Frobeniovej vety. Preto je nutné zistiť hodnosť matice $A$ a matice $A^*$. Maticu $A^*$ upravujeme na trojuholníkový resp. lichobežníkový tvar pomocou ekvivalentných úprav.
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
0& 1& -1&1\\
1& 0& -1&1\\
-1 &1& 0&1\\
\end{array} \right)\sim
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 1& -1&1\\
-1&1& 0&1\\
\end{array} \right)\sim
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 1& -1&1\\
0& 1& -1&2\\
\end{array} \right)\sim
$$
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 1& -1&1\\
0& 0& 0&1\\
\end{array} \right)
$$
Hodnosť matice $A$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $A^*$ je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.

Ak $p=1$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$
\begin{eqnarray*}
 1x_1+x_2-x_3&=&1\\
x_1+1x_2-x_3&=&1\\
-x_1+x_2+1x_3&=&1\\
\end{eqnarray*}
$$
Označme:
$$B=\left(
\begin{array}{rrr}
1& 1& -1\\
1& 1& -1\\
-1 &1& 1\\
\end{array} \right), \,
B^*=\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 1& -1&1\\
1& 1& -1&1\\
-1 &1& 1&1\\
\end{array} \right)
$$$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 1& -1&1\\
1& 1& -1&1\\
-1 &1& 1&1\\
\end{array} \right)\sim
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 0& 0&0\\
0& 2& 0&2\\
\end{array} \right)\sim
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 2& 0&2\\
0& 0& 0&0\\
\end{array} \right)
$$
Hodnosť matice $B$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $B^*$ je 2.Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice: $[1-t;1; t]$, kde $t\in \mathrm{R}$.
Toto riešenie vypočítame, ak maticu $
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 0& -1&1\\
0& 2& 0&2\\
0& 0& 0&0\\
\end{array} \right)
$ prepíšeme znova do tvaru systému rovníc: $
\begin{eqnarray*}
 1x_1+0x_2-x_3&=&1\\
0x_1+2x_2+0x_3&=&2\\
0x_1+0x_2+0x_3&=&0\\
\end{eqnarray*}
$
Jedna premenná je voľná. Nech je to $x_3$. Zvoľme za túto premennú parameter $t$ t.j. $x_3=t$. Z druhej rovnice vyjadríme $x_2$ t.j. $x_2=1$ a následne z prvej rovnice $x_1$ t.j. $x_1=1-t$, kde $t\in \mathrm{R}$.

Ak $p=-1$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$
\begin{eqnarray*}
 -1x_1+x_2-x_3&=&1\\
x_-1x_2-x_3&=&1\\
-x_1+x_2-1x_3&=&1\\
\end{eqnarray*}
$$
Označme:
$$C=\left(
\begin{array}{rrr}
0& 1& -1\\
1& 0& -1\\
-1 &1& 0\\
\end{array} \right), \,
C^*=\left(
\begin{array}{rrr|r}
0& 1& -1&1\\
1& 0& -1&1\\
-1 &1& 0&1\\
\end{array} \right)
$$
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
-1& 1& -1&1\\
1& -1& -1&1\\
-1 &1& -1&1\\
\end{array} \right)\sim
\left(
\begin{array}{rrr|r}
1& 1& -1&1\\
0& 0& -2&2\\
0&0& 0&2\\
\end{array} \right)
$$
Hodnosť matice $C$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $C^* $ je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.