Derivácia funkcie - Príklad 1

Derivácia funkcie

Príklad 1

Z definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie $f^{\prime}(16)$, ak $f(x)=\sqrt{x}$.

Riešenie:

Defininícia deriácie:
$$f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Najprv zistíme čomu sa rovná funkčná hodnota v čísle 16.
$$f(x)=\sqrt{x}$$
$$f(16)=\sqrt{16}=4$$
Z definície derivácie
$$f^{\prime}(16)=\lim_{x\rightarrow 16}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}$$
Táto limita je typu $\frac{0}{0}$.
Rozšírime výraz vhodnou jednotkou a použijeme vzťah: $a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$
$$f^{\prime}(16)=\lim_{x\rightarrow16 }\frac{\sqrt{x}-4}{x-16} \cdot \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+4}=$$
$$\lim_{x\rightarrow 16}\frac{x-16}{(x-16)\cdot(\sqrt{x}+4)}=$$
Vykrátime zlomok výrazom   $x-16$:
$$\lim_{x\rightarrow 16}\frac{1}{\sqrt{x}+4} =\frac{1}{8}$$
$$f^{\prime}(16)=\frac{1}{8}$$