Zložená funkcia - Príklad 1

Zložená funkcia

Pod zloženou funkciou $(f\circ g)$ z funkcií $f$, $g$ (inými slovami kompozíciou $(f\circ g)$ funkcií $f$, $g$) rozumieme funkciu definovanú nasledovne: $(f\circ g)(x) = f(g(x))$. Funkciu $f$ nazývame vonkajšou zložkou a funkciu $g$ vnútornou zložkou kompozície $(f\circ g)(x)$.

Príklad 1

Zostrojte zložené funkcie
$(f\circ g)$, $(g\circ f)$, $(f\circ f)$, $(g\circ g)$, ak $f(x)= x^3$ a $g(x)=\cos x$. Výsledný vzťah zjednodušte, ak je to možné.

Riešenie:

Definičným oborom danej funkcie $f(x)= x^3$ je $D(f)= \mathbb{R}$ a definičný obor funkcie $g(x)=\cos x$ je tiež $D(g)= \mathbb{R}$.

Hľadané funkcie sú:
$$
(f\circ g)(x)=f(g(x))= {(\cos x)}^3= \cos^3x
$$
$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))= \cos ({x}^3)=\cos x^3
$$
$$
(f\circ f)(x)=f(f(x))={({x}^3)}^3= x^9
$$
$$
(g\circ g)(x)=g(g(x))= \cos (\cos x)
$$
Pričom definičným oborom každej funkcie, ktorá vzniká z tohto zloženia, je množina všetkých reálnych čísel ($ \mathbb{R}$).