Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 1

Geometrický význam derivácie funkcie

Príklad 1

Nájdite rovnicu dotyčnice v bode $T=[1;y_0]$ ku krivke $$f(x)=3x\cdot (2-x).$$

Riešenie

$$f:y=3x\cdot (2-x)$$
Dopočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu:
$$f(x_0)=3\cdot 1 (2-1)=3\cdot 1 =3$$
$$T=[1;3]$$
Vypočítame smernicu dotyčnice:
$$k=f^{\prime}(x_0)$$
$$f(x)=3x\cdot (2-x)$$
Funkciu $f$ derivujeme podľa pravidiel derivovania. Konkrétne funkciu $f$ derivujeme ako súčin dvoch funkcii. 
$$f^{\prime}(x)=(3x)^{\prime}\cdot (2-x)+3x\cdot (2-x)^{\prime}= 3(2-x)+3x(-1)=6-3x-3x=6-6x$$
$$f^{\prime}(x)=6-6x$$  
$$k=f^{\prime}(x_0)=6-6\cdot 1$$
Dosadíme do vzťahu pre dotyčnicu: 
$$y-y_0=f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0)$$
$$y-3=0\cdot(x-1)$$
$$y=3$$